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100板橋高中

老王

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1^# 大中小發表於 2011-6-7 19:56 只看該作者

100板橋高中

題目請參考美夢成真網站
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2530

先把會的寫下來

11題
有外角平分線，欲證之式又是調和型式，所以想到調和點列。
作角BAC的平分線交BC於D，那麼(B、C；D、E)為調和點列，所以有
1BE+1CE=2DE
連接ND1，因為AD1為直徑，所以

AND1=90o

AMN=

AD1N

MAP=90o−

AMN=90o−

AD1N=

D1AN
所以AD也是

D1AD2 的內角平分線
而AE和AD垂直，所以AE是

D1AD2 的外角平分線
同樣有D1、D2；D、E為調和點列
1D1E+1D2E=2DE
故得證

註一
(B、C；D、E)為調和點列的證明
內分比DCBD=BAAC
外分比ECBE=BAAC
故DCBD=ECBE

註二
調和點列形成調和數列的證明
由DCBD=ECBE
我們令BE=x

C=y

DE=z，上式可以寫為
x−zz−y=yx
xz−xy=xy−yz
yz+xz=2xy
x1+y1=z2

這也就是調和點列名稱的由來
事實上從任一點到另外三點所成的三個線段，都形成調和數列，但是要注意方向。

[ 本帖最後由老王於 2011-6-7 08:18 PM 編輯 ]

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2011-6-7 20:15

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名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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老王

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2^# 大中小發表於 2011-6-7 21:23 只看該作者

第5題，要補上立方體的邊長為10
假設B、C、D分別離地面高度為10,11,12
三角形BCD是邊長為10

2 的正三角形
取BD中點M，那麼M的高度為11
並且CM垂直BD
若是三角形BCD在水平面的投影為三角形CEF，此時DF=BE=1
那麼可以看出BCD和水平面的夾角就是角DMF
也就是想成三角形BCD轉了這個角度
那麼這個正方體也是轉相同角度
取BCD的重心G，那麼AG和面BCD垂直，且知
AG=310

3
於是AG在鉛直方向的投影長度為
310

3

cosDMF
=310

3

75

2=37

6
所以A的高度為
11−37

6

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3^# 大中小發表於 2011-6-8 15:02 只看該作者

第2題
做了一個立方體模型就靈光一閃看出來了
基本上你去看一個立方體，最多只能看到三個面，這三個面有一個共同的頂點。
準此，意思就是其他三個面會被這三個面遮住，只要考慮這三個面的投影就好。
而且總投影面積，就是這三個面分別投影的面積。

假設這三個面分別是A、B、C
他們的面積都是a2
設

、

分別是A、B、C所在平面和投影面的銳夾角，那麼有投影面積
A

=Acos

、B

=Bcos

、C

=Ccos

所求為A

+B

+C

的最大值。

假設A、B、C所在平面分別是三個坐標平面，投影面為px+qy+rz+s=0
那麼

、

就會是(p,q,r)的方向角，所以有
cos2

+cos2

=1
於是由柯西不等式
(cos2

+cos2

)(1+1+1)

(cos

+cos

)2
所以最大陰影面積為

3a2

由上討論，知道如果長方體長寬高各為a,b,c
令A=bc,B=ac,C=ab
由柯西不等式
(cos2

+cos2

)(b2c2+a2c2+a2b2)

(bccos

+accos

+abcos

)2
最大陰影面積為

b2c2+a2c2+a2b2

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老王

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4^# 大中小發表於 2011-6-9 18:29 只看該作者

第10題
顯然A'C'跟平面BB'C'C垂直，所以A'C'垂直BC'於C'
過C作BC'的垂線，垂足D會是BC'的中點
那麼
A

C

=3

2，CD=

2
所以P點位置在DC'上且為DP : PC'=1 : 3的地方
不過這題沒問P在哪，只要算最小值
最小值就是

(A

C

+CD)2+DC

2=

34

[ 本帖最後由老王於 2011-6-9 06:30 PM 編輯 ]

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witz

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5^# 大中小發表於 2011-6-10 17:18 只看該作者

這裡沒有"讚"可以按......
老王老師真的很厲害!

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David

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6^# 大中小發表於 2011-6-11 22:16 只看該作者

不好意思, 能不能請教一下各位第7題?我一直想不透這題:
若n有最小值, 設為k, 則S={5, 6, 7, .....k-1, k}. 將其任意分割, 設分割成A={5, 6, ... k-1}, B={k},
則B必不能滿足含有a, b, c三元素且ab=c???????

請問我是那裏弄錯. 謝謝