2019臺灣中小學數學能力檢定考試

15.
甲乙兩人各自抽了一個正整數，他們各自看了自己抽到的正整數，卻不知道對方抽到的數是多少，當他們得知兩人抽到的兩數乘積不是27就是81後，以下是他們按順序的對話。
(1)甲先對乙說：我不知道你抽到的數是多少。
(2)乙再對甲說：我也不知道你抽到哪一個數。
(3)然後甲又對乙說：我現在知道你抽到的是哪一個數了。
(4)最後乙對甲說：原來你抽到的數是我抽到的數的倍數。
如果甲、乙兩人按順序說的推理內容都正確，請問甲、乙兩人所抽的兩數之和為多少？
(A)12　(B)18　(C)28　(D)30　(E)82

答案ABCDE
考慮甲=Ka 乙=a  K不為0
(A)9+3=12
(B)9+9=18
(c)27+1=28
(D)27+3=30
(E)81+1=82

抱歉！答案是（D)

甲抽到的數記為 a,乙抽到的數記為b，則數對(a,b)有9個可能滿足乘積為27或81
(1,81)        (1,27)
(3,27)        (3,9)
(9,9)        (9,3)
(27,3)        (27,1)
(81,1)
(1) 表示 a 出現在第一個分量兩次以上 => a≠81 (所有人均知)

刪除所有人均知不符合的，剩下
(1,81)        (1,27)
(3,27)        (3,9)
(9,9)        (9,3)
(27,3)        (27,1)
(2) 表示 b 出現在第二個分量兩次以上 => b≠81 且 b≠1 (所有人均知)

刪除所有人均知不符合的，剩下
        
(1,27)
(3,27)        (3,9)
(9,9)        (9,3)
(27,3)
(3) 表示 a 出現在第一個恰一次 => a≠3 且 a≠9 (所有人均知)

刪除所有人均知不符合的，剩下
        
(1,27)
(27,3)
(1,27) 不符合 (4) 故 (a,b)=(27,3)

懂了！謝謝

整個做完得到甲抽到的數字是27、乙抽到的數字是3
回頭檢視對話：
(4)最後乙對甲說：原來你抽到的數是我抽到的數的倍數
事際上乙抽到的 3，從對話開始前，乙就知道甲抽到的是 9 或 27
這個倍數關係是乙早就知道的，經過一番對話，讓乙用「原來」兩字說出這句，
語意上，個人覺得不太通順