94霧峰農工

適逢中秋節連假，我找一些比較古早的考古題讓各位練習

以\( \displaystyle \xi=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)表1的一個真正15次方根，\( f \)為一整係數非零多項式，且知\( f(\xi)=0 \)；試問滿足此條件且次數最低的\( f \)之次數為若干？

若\( \displaystyle x=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)，則滿足\( f(x)=0 \)的最少次多項方程式是
(98新港高中，https://math.pro/db/thread-938-1-4.html)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43637

想請益這題！
之前了解但現在又想不太通為何是八次！
謝謝

\(\begin{array}{l}
{x^{15}} - 1\\
= \left( {{x^5} - 1} \right)\left( {{x^{10}} + {x^5} + 1} \right)\\
= \left( {x - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^8} - {x^7} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - x + 1} \right)
\end{array}\)

易知\(\cos \frac{2\pi }{15}+i\sin \frac{2\pi }{15}\)是\({{x}^{8}}-{{x}^{7}}+{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-x+1=0\)之根

謝謝鋼琴老師!!!!!!!!!!!

不好意思
想向鋼琴老師請教一下
x^10+x^5+1是怎麼想到拆解法的?
第一次看到這題寫10次......
沒想到x^10+x^5+1還可以再拆>m<

100 成淵高中考過這題因式分解，可參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2541

因式分解一般來說是個很難的問題，但與解方程式有相當的關係

我也不會因式分解，但由棣美弗定理可解得 \( x^{15} -1 =0 \) 的 15 個複數根，其中有三個根滿足 \( x^3 -1 =0 \)、5 個滿足 \( x^5 - 1 =0 \)。

所以除法一做，馬上就可以得到 #4 鋼琴大寫的分解

感謝鋼琴老師與寸絲老師的細心講解
確實從x^3-1=0與x^5-1=0這地方去思考
去除共同的x-1因式後，勢必存在一種(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1)(某個八次式)
可以判斷出x^10+x^5+1尚未分解完畢
但把x^10+x^5+1除掉x^2+x+1後得到的八次式
是如何判斷這個八次式無法再分解呢?(還是說這就是一種感覺!~誤)

我原本想到的是用大學代數所學到的愛因斯坦判別法
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8 ... 4%E5%88%A5%E6%B3%95
整係數多項式\( f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0 \)
如果存在質數\( p \)，使得
\( p \)不整除\( a_n \)，但整除其他\( a_i \)
\( p^2 \)不整除\( a_0 \)，
那麼\( f(x) \)是不可約的。

但\( x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 \)的係數只有1或\( -1 \)找不到質數\( p \)符合愛因斯坦判別法

wiki也提到可以藉由變數代換，說不定就可以找到質數\( p \)

有時候不能直接用判別法，或者可以代入\( y = x + a \)後再使用。
例如考慮\( h(x) = x^2 + x + 2 \)。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把\( h(x) \)代入為\( h(x + 3) = x^2 + 7x + 14 \)，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但\( 7^2 = 49 \)不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。

我利用maxima來找\( y=x+a \)的\( a \)值。只是程式執行完沒有符合的\( a \)和\( p \)。
fx:x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1;
for a:-10000 thru 10000 do
  (fx2:expand(ev(fx,x=x+a)),
   coeffs:create_list(coeff(fx2,x,i),i,0,7),
   p:lreduce(lambda([x,y], gcd(x,y)),coeffs),
   if p#1 then
     (print("x+",a,"p=",p))
  );

接下來我又想到曾經在科學月刊看到游森棚教授寫的一篇文章
猜或不猜，http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html
文章有\( x^{15}-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2+x+1)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8) \)的例子
和重要的關鍵字 分圓多項式(cyclotomic polynomial)

我再用cyclotomic polynomial去google搜尋，並加上irreducible關鍵字
出來就有很多證明，這已經超過我的程度了，就請你自行參閱了
https://www.google.com.tw/search ... 0.5.157._5LRjDnfqWI