103金門高中

一字不漏打的
歡迎大家討論

想請教各位老師,第三題該如何思考...
有想過用遞迴,但不知道x+y,xy的值,況且也還有a,b等數字...
苦惱中...求教中...謝謝

第三題. 柯西不等式 \( (1)(3) \geq (2)^2 \) 等號恰成立，可得 \( x^2 = y^2 =z^2 \)

又三數皆正，故 \( x=y=z \)，代入三方程式可得 \( x = y = z = \frac32 \)

故三程式簡化後為 \( \displaystyle a^\frac32 + b^\frac32 + c^\frac32 = 4 \)

又 \( a,b,c \geq 1 \)，故當 \( a=b=1 \) 時，\( c \) 有最大值 \( 2^\frac23 \)

太強了...
二下就解決了...
我想很久...想要柯西...又不知該如何下手...原來如此...
解決了...真開心...感謝老師指導

寸絲兄使用柯西可謂神手~之前很多帖子都拜見過也學了不少XD

想請教1,7,10題 謝謝

第 1 題，可參考 99中壢高中2招第2題 weiye 老師的解題

第10題
作\(\overline{CD}\)垂直x軸於D
令∠\(CAD=\theta \quad \left( 0\le \theta \le \frac{\pi }{2} \right)\)，則∠\(ABO=\theta \)
\(\begin{align}
  & \overline{OA}=\overline{CD}=a\sin \theta ,\overline{AD}=a\cos \theta  \\
& C\left( a\left( \sin \theta +\cos \theta  \right),a\sin \theta  \right) \\
& \overline{OC}=a\sqrt{{{\left( \sin \theta +\cos \theta  \right)}^{2}}+{{\sin }^{2}}\theta } \\
& =a\sqrt{1+\sin 2\theta +{{\sin }^{2}}\theta } \\
& =a\sqrt{\sin 2\theta -\frac{1}{2}\cos 2\theta +\frac{3}{2}} \\
\end{align}\)
故\(\overline{OC}\)最大值為\(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2}}\ a\)，最小值為\(a\)

第7題
幫忙打字一下好了

(1)
\(\begin{align}
  & {{a}_{1}}=3 \\
& {{a}_{2}}=\frac{1}{3}\times 4\times 3=4 \\
& {{a}_{3}}=\frac{1}{9}\times {{4}^{2}}\times 3=\frac{16}{3} \\
& : \\
& {{a}_{n}}=\frac{4}{3}{{a}_{n-1}} \\
& \frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}}+\cdots =\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{3}{4}}=\frac{4}{3} \\
\end{align}\)
(2)
\(\begin{align}
  & {{b}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4} \\
& {{b}_{2}}={{b}_{1}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}{{b}_{1}}\times 3 \\
& {{b}_{3}}={{b}_{1}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}{{b}_{1}}\times 3+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}{{b}_{1}}\times 12={{b}_{1}}+\left[ {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}\times 3+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}\times 12 \right]{{b}_{1}} \\
& : \\
& {{b}_{n}}={{b}_{1}}+\left[ {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}\times 3+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}\times 12+\cdots +{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2n-2}}\times 3\times {{4}^{n-2}} \right]{{b}_{1}} \\
& ={{b}_{1}}+\frac{3}{5}\left[ 1-{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{n-1}} \right]{{b}_{1}} \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=\frac{8}{5}{{b}_{1}}=\frac{2}{5}\sqrt{3} \\
\end{align}\)

想請益第八題??
有試過 餘弦 和 三角形面積 做到一半式子都很難解...
而且沒答案 一整個沒把握解完
請問各位前輩們有算過這題嗎?