103育成高中

Prove that the number \( \underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5 \)(which has 1997 of 1-s and 1998 of 2-s) is a perfect square.
http://www.artofproblemsolving.c ... p?f=151&t=58633　
https://math.pro/db/thread-586-1-3.html

請問第1,2,5,6題
感謝 ^^

#1
計算\(\sqrt{\underbrace{444\ldots 4}_{20個4}-\underbrace{888\ldots 8}_{10個8}}\)之值？
[解答]
√(44-8)=6
√(4444-88)=66
√(444444-888)=666
......
剩下自己想喔~

#2
已知四個互不相等的正實數\(a,b,c,d\)滿足\(\cases{(a^{2014}-c^{2014})(a^{2014}-d^{2014})=2014\cr (b^{2014}-c^{2014})(b^{2014}-d^{2014})=2014}\)，則\((ab)^{2014}-(cd)^{2014}=\)？
[解答]
依題意可設 x=a^2014 ,b^2014
為(x-c^2014)*(x-d^2014)=2014兩解
方程式整理得
x^2-(c^2014+d^2014)x+(cd)^2014-2014=0
由根與係數得
(a^2014)*(b^2014)=(ab)^2014
=(cd)^2014-2014
所以(ab)^2014-(cd)^2014= -2014

#5
設\(a,b,c,d\)皆為實數，且\(a^2+b^2=25\)，\(c^2+d^2=36\)，\(ac+bd=15\)，試求\(|\;ad-bc|\;\)之值。
[解答]
假設向量p=(a,b)  ,向量q=(c,d) ,θ為兩向量的夾角
則|向量p|=√25=5 ,|向量q|=√36=6
向量p∙向量q=5*6*cosθ =15
cosθ=1/2 ,θ=60度
所求=兩向量所張成的平行四邊形面積
=5*6*sin60度
=15√3

第1題
計算\(\sqrt{\underbrace{444\ldots 4}_{20個4}-\underbrace{888\ldots 8}_{10個8}}\)之值？
[解答]
\(\begin{align}
  & \sqrt{\underbrace{444\cdots 4}_{20個}-\underbrace{888\cdots 8}_{10個}} \\
& =\sqrt{\underbrace{444\cdots 4}_{10個}\left( 1\underbrace{000\cdots 0}_{9個}1-2 \right)} \\
& =\sqrt{\underbrace{444\cdots 4}_{10個}\times \underbrace{999\cdots 9}_{10個}} \\
& =\underbrace{111\cdots 1}_{10個}\times 2\times 3 \\
& =\underbrace{666\cdots 6}_{10個} \\
\end{align}\)

第五題:
設\(a,b,c,d\)皆為實數，且\(a^2+b^2=25\)，\(c^2+d^2=36\)，\(ac+bd=15\)，試求\(|\;ad-bc|\;\)之值。
[解答]
利用丟番圖恆等式
(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
15^2+(ad-bc)^2=25*36
  (ad-bc)^2=675
    |ad-bc|=15根號3

第 6 題
桌上3張牌蓋著，每張後面都寫著一個正整數，且3個數字和為13，從左到右遞減，今天甲看了最左邊的牌之後說，我不確定其他2張數字是多少。乙看了最右邊的牌之後說，我不確定其他2張數字是多少。丙看了中邊的牌之後說，我也不確定其他2張數字是多少。請問中間牌的數字為多少?
[解答]
最左邊的牌，最大是 8，因為若是 10 或 9，甲一看就知道另二張牌是 2 和 1 或 3 和 1
最左邊的牌，最小是 6

最右邊的牌，最大是 2，因為若是 3，乙一看就知道另二張牌是 6 和 4

如此剩以下五種可能
8，4，1
8，3，2
7，5，1
7，4，2
6，5，2

丙看了中間的牌，且不確定另二張牌是多少，故中間牌的數字是 4 或 5

謝謝Ellipse thepiano wen0623 老師們的解說

想請教第7題 謝謝

第 7 題
設\(a>0\)，自閉區間\([0,a]\)中任取三數\(x,y,z\)的狀況下，試求\(x,y,z\)能成為三角形三邊長的機率？
[解答]
考慮以下條件在空間中所形成的型體，用幾何機率去處理，答案是 1/2
0 ≦ x ≦ a
0 ≦ y ≦ a
0 ≦ z ≦ a
x + y ＞ z
y + z ＞ x
z + x ＞ y

第6題原題目應該是從左到右遞增喔
所以正確答案應該只有4