計算證明題第2題
設正整數\(m\)和\(n\)滿足\(n^2<8m<n^2+60(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)，請問\(n\)的最大值是多少？
[解答]
完全平方數除以8的餘數只能是0或1或4
故\(60\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\)必須要大於4，才可能使\({{n}^{2}}\)和\({{n}^{2}}+60\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\)之間存在8的倍數
\(\begin{align}
& 60\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)>4 \\
& 15>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n} \\
& n<56.25 \\
\end{align}\)
再驗證\(n=56\)和\(n=55\)不合及\(n=54,m=365\)符合所求即可
