99、100年台南一中科學班初試

因為在研究資優班的題目常常卡題，
真的很感謝各位老師們不吝協助解題，
也很感謝有這個論壇可以詢問。

附件是99和100年的台南一中科學班考題，
共有7題想不出來怎麼解，
有一起附上解答，
再麻煩老師們指點，謝謝。

103.5.28補充
將題目重新打字，將來搜尋才找得到。
題目下載
http://w3.tnfsh.tn.edu.tw/sec/downloads.htm

臺南一中99年科學班初試
8.
利用\( (\sqrt{5}+\sqrt{3})^6+(\sqrt{5}-\sqrt{3})^6=3904 \)，求小於\( \displaystyle \frac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^6} \)之最大整數為何？
(A)59　(B)60　(C)61　(D)62　(E)63

9.
當\( \displaystyle f(x)=x \sqrt{1-2x}(0 \le x \le \frac{1}{2}) \)有最大值時，\( \displaystyle x=\frac{n}{m} \)(化為最簡分數)，求\( m+n= \)？
(A)4　(B)5　(C)6　(D)7　(E)8

17.
如右圖，將平形四邊形兩對邊取五等分及四等分，並將等分點連成兩組等距離平行線。已知網狀中的小平行四邊形的面積為5，試求原來大的平行四邊形的面積？
(A)97.5　(B)100　(C)95　(D)85　(E)92.5

18.
如圖所示，A、B、C三圓彼此外切且均內切於圓D，已知B、C兩圓全等且半徑均為1，圓A通過圓D的圓心，則圓A的半徑為多少？
(A)\( \displaystyle \frac{3}{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} \)　(C)\( \displaystyle \frac{8}{7} \)　(D)\( \displaystyle \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2} \)　(E)\( \displaystyle \frac{9}{8} \)

[臺南一中100科學班]
3.
設二次函數\( f(x)=ax^2+bx+c \)滿足條件：\( f(0)=2 \)，\( f(1)=-1 \)，且其圖形在x軸上所截得的線段長為\( 2\sqrt{2} \)，則\( a= \)　　。
答案：1或\( \displaystyle -\frac{9}{7} \)

8.
△ABC中，\( \overline{AB}=\overline{AC}=6 \)，D、E分別在\( \overline{AB} \)、\( \overline{AC} \)上，\( \overline{AD}=\overline{AE}=2 \)，且\( \overline{CD}⊥\overline{BE} \)，則\( \overline{BC}= \)　　。
答案：\( \displaystyle \frac{12 \sqrt{5}}{5} \)

12.
如圖，ABCD為一梯形且\( \overline{BC}// \overline{AD} \)，設\( ∠ADC=57^o \)，\( ∠DAB=33^o \)，\( \overline{BC}=6 \)，\( \overline{AD}=10 \)，若M、N分別為\( \overline{BC} \)、\( \overline{AD} \)之中點，求：(1)\( ∠MNA \)之度數　(2)\( \overline{MN} \)長
答案：\( 114^o \)、2

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-28 06:00 AM 編輯 ]

貢獻一題第8題：
因為\(0<{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}^{6}}<1\), 可推得\(3903<{{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)}^{6}}<3904\), 故所求
\(\frac{1}{{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}^{6}}}=\frac{{{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)}^{6}}}{{{2}^{6}}}\)介於 \(\frac{3903}{64},\frac{3904}{64}\)之間，做除法得到答案為60

若有寫得不詳盡的地方歡迎再詢問

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-27 12:02 AM 編輯 ]

第9題：
我想應該是不能使用微分，就來個算幾吧(不知道能不能用，若不能用我也無招了，只好等其他先進XD
因為在\(0\le x\le \frac{1}{2}\)下, \(1-2x\ge 0\), 利用算幾不等式：
\(\frac{x+x+\left( 1-2x \right)}{3}\ge \sqrt[3]{{{x}^{2}}\left( 1-2x \right)}\) 移項整理可推出所求的最大值，
但本題只關心此時的\(x\)值為何，故等號成立時，\(x=1-2x\Rightarrow x=\frac{1}{3}\), 故\(m+n=4\)

睡不覺來算一題第3題，不太會用語法見圖檔。

謝謝bugmens老師幫忙打字，已將圖檔移除。103.5.27

103.5.27將圖檔重新打字
3.
\( f(x)=ax^2+bx+c \)
\( f(1)=-1 \)
\( f(0)=2 \)
∵\( f(0)=2 \)， ∴\( c=2 \)
\( \displaystyle x=\frac{-b+-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)(和x軸交點)

\( \displaystyle \frac{2 \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=2 \sqrt{2} \)

\( \sqrt{b^2-4ac}=2 \sqrt{2}a \)

\( b^2-4ac=8a^2 \)

\( b^2=8a^2+8a \)　－－①

\( f(1)=a+b+c=-1 \)

\( a+b=-3 \)　－－② (②代入①)

\( 9+6a+a^2=8a^2+8a \)

\( 7a^2+2a-9=0 \)

\( \displaystyle a=1 or -\frac{9}{7} \)

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2014-5-27 05:30 PM 編輯 ]

請參考

第18題：
設圓D圓心為O, BC 中點為M，圓A半徑為y, OM長度為x, 則
可推知長度 AB=y+1, AM=x+y, OB=2r-1, BM=1, 由畢氏定理知
\(\left\{ \begin{align}
  & {{x}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( 2y-1 \right)}^{2}} \\
& {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\)  即可解出 \(y=\frac{9}{8}\)

第12題：
將直線AB、CD延伸出去交點設為O, 則三角形OAB為直角三角形，
因為N為AD中點，亦為三角形OAB的外心，所以ON=DN=AN=5
可得三角形ODN為等腰三角形，所以角MNA為2倍角ODN(外角)
故角MNA=114度

再來因為ON=5, OM:MN=3 : (5-3)=3:2, 故MN長度為2

請參考

#17
也可以用拼圖方式處理
可拼出19個面積為5的平形四邊形

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-28 09:28 PM 編輯 ]

謝謝各位老師的詳細解答，
一直以來總是受到各位老師的幫忙。

也謝謝bugmens老師協助把題目打成文字，
想請教一下要怎麼寫出那些算式？
如果我會的話，下次我可以直接打成文字，
才不會一直勞煩bugmens老師，真是抱歉。