103中央大學附屬中壢高中

美夢成真教甄討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3291

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-4-26 09:56 PM 編輯 ]

填充9.
ABCD-EFGH為一正立方體，各邊長為3，O為正立方體的中心，且\( \overline{EI}:\overline{IH}=2:1 \)，\( \overline{DJ}:\overline{JH}=2:1 \)，求「O,I,J三點所決定之平面」與「正立方體」所截的截面面積為。
[解答]
坐標化算出OIJ平面方程式以及和正立方體的交點
梯形的上底\( \overline{IJ}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \)
\( \overline{LJ}=\sqrt{\overline{LC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DJ}^2}=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17} \)，梯形的高為\( \displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2} \)
梯形的下底\( \overline{NK}=\sqrt{3^2+3^2}=3 \sqrt{2} \)
\( \displaystyle 六邊形IJKLMN面積=2 \times 梯形IJKN面積=2 \times \frac{\sqrt{17}}{2}\times \frac{\sqrt{2}+3 \sqrt{2}}{2}=2\sqrt{34} \)


103.5.25補充
以\( A(1,1,1) \),\( B(-1,1,1) \),\( C(-1,-1,1) \),\( D(1,-1,1) \),\( E(1,1,-1) \),\( F(-1,1,-1) \),\( G(-1,-1,-1) \),\( H(1,-1,-1) \)為頂點的正立方體。今有一平面\( x+2y+3z=4 \)與它相截，試問其截面面積為　　。
(93筆試二，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105)

填充12.
設兩數列\( a_1,a_2, \ldots ,a_{100} \)及\( b_1,b_2, \ldots ,b_{100} \)滿足\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1} \cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n} \)，\( n=1,2, \ldots ,99 \)。已知\( a_{99}=3^{50} \)，\( b_{100}=4 \dots 3^{49} \)。試求\( \Bigg[\; \matrix{a_1 \cr b_1} \Bigg]\;= \)
(我的教甄準備之路－求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)


計算2.
\( \displaystyle \sqrt{\frac{1}{16}x^4-\frac{3}{2}x^2-6x+34}+\sqrt{\frac{1}{16}x^4+\frac{1}{2}x^2+1} \)的最小值為？
[解答]
\( \displaystyle \sqrt{(x-3)^2+(\frac{1}{4}x^2-5)^2}+\sqrt{(x-0)^2+(\frac{1}{4}x^2-1)^2} \)
可以看成\( A(3,5) \)，\( B(0,1) \)，P為\( \displaystyle y=\frac{1}{4}x^2 \)上的一個動點，要找\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值？

當APB三點共線時，有最小值\( \overline{AB}=5 \)←此行有錯
請參閱https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1868&page=3#pid10086
感謝wen0623,一心老師指教


比較常見的是這兩題
試求\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1} \)之最大值為何？
(1992大陸高中數學競賽，91中一中段考題，95基隆高中，高中數學101 P235)

求函數\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值？
(88全國高中數學競賽 台北市，95台中高農，96彰師附工，97文華高中)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-25 08:22 AM 編輯 ]

這張考卷，我有去考。等等訂正把答案貼出來。讓我最嘔的是，填充題第十一題，最近算寸絲的講義，算了第200題，前面題目有遇到類似取高斯函數的題目，方法也會了，考場上算出四個答案。我只驗算真數要恆正，沒有驗算原來的等式。因此我的答案寫了四個，包含那個正確答案。不知道這題可以撿到幾分~~~

11、若實數 \(x\) 滿足 \({{\left( \log x \right)}^{2}}-\left[ \log x \right]-3=0\) ，則\(x\)=?  
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{\left[ {\log x} \right] = t \Rightarrow t \le \log x < t + 1}\\
{}&{ \Rightarrow \left( {\log x} \right) - 1 < t \le \log x}\\
{}&{{{\left( {\log x} \right)}^2} - 3 = \left[ {\log x} \right] = t}\\
{}&{ \Rightarrow \left( {\log x} \right) - 1 < {{\left( {\log x} \right)}^2} - 3 \le \log x}\\
{}&\begin{array}{l}
\log x = A\\
A - 1 < {A^2} - 3 \le A\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A - 1 < {A^2} - 3\\
{A^2} - 3 \le A
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{A^2} - A - 2 > 0\\
{A^2} - A - 3 \le 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A > 2,A <  - 1\\
- 1. \cdots  \simeq \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2} \le A \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \simeq 2. \cdots
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2} \le A <- 1   ,    2 < A \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}
\end{array}
\end{array}\]
\[\left[ {\log x} \right] =  - 2,[\log x] = 2\]

帶回原式 ,
(1)  \(\begin{array}{l}
{\left( {\log x} \right)^2} - ( - 2) - 3 = 0\\
\Rightarrow \log x =  \pm 1 \Rightarrow x = 10 \vee x = \frac{1}{{10}}
\end{array}\)

(2) \(\begin{array}{l}
{\left( {\log x} \right)^2} - (2) - 3 = 0\\
\Rightarrow \log x =  \pm \sqrt 5  \Rightarrow x = {10^{\sqrt 5 }} \vee x = {10^{ - \sqrt 5 }}
\end{array}\)

\(x = 10,\frac{1}{{10}},{10^{\sqrt 5 }},{10^{ - \sqrt 5 }}\)
帶回 \({{\left( \log x \right)}^{2}}-\left[ \log x \right]-3=0\)  驗算

驗算發現只有 \({10^{\sqrt 5 }}\)，符合等式。其餘都不合。另外三個答案，我在寫的時候，只驗算是否真數恆正。
沒有想到驗算這個原本題目的等式。因此四個答案都寫下去了。應該是都沒有分數了。(~~~樂極生悲,可惜了~~~會寫的題目就要步步驚心，小心把正確答案找出來)~~

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-26 09:12 PM 編輯 ]

可以用勘根定理就好~就可以知道[logx]=2了~

非連續函數

計算題第二題,也是這樣算,

最小值算出來是5

但答案怎是6?

1、在1到100之間的正整數n中，使得\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質的n有幾個? (這題目我在考場上，看到的第一題，又是今年第一家筆試，正個沒有了解題目意思，當下當成1到100中有多少個正整數與\({{n}^{2}}+7\) 和\(n+4\)不互質~~難怪當下越想越奇怪，整個沒有了解題目意思。犯了學生常犯的錯誤)
解
\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質，代表\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 最大公因數不是1。
因此使用輾轉相除法。

\({n^2} + 7\)與\(n+4\)，最大公因數23  
令 \({n^2} + 7=23h\)
    \(n+4=23k\)               \((h,k)=1\)

\(\begin{array}{l}
1 \le n = 23k - 4 \le 100\\
\Rightarrow 0. \cdots  \le k \le 4. \cdots \\
k = 1,2,3,4
\end{array}\)

共有4個

2、設\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\),則\(f(96) \div 193\)的餘數為?
解
觀察發現\(193=(96)(2)+1\)，因此把 \(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\)除以 \(2x+1\)
使用綜合除法
\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10 = (2x + 1)Q(x) + r\)，求出 \(r=8\)
\(\begin{array}{l}
f(x) = (2x + 1)Q(x) + 8\\
f(96) = (2 \times 96 + 1)Q(96) + 8
\end{array}\)

答案  \(8\)

3、設 \(f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\)，求合成函數 \(f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)\)之最大值為?
解
\(\begin{array}{l}
y = f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\\
y = f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le x \le 1
\end{array}\)
這是一個開口向上的拋物線，頂點會產生最小值。頂點的\(x\)座標有包含在範圍內，可以得到
\[ \Rightarrow  - 4 \le y \le 5\]
\[\begin{array}{l}
f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right)} \right)\\
k = f\left( y \right) = {\left( {y + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le y \le 5\\
\Rightarrow  - 4 \le k \le 32\\
f\left( k \right) = {\left( {k + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le k \le 32
\end{array}\]

當k=32時，原來題目的合成函數有最大值1085


填充題第7題，就看13樓，寸絲老師的解法

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:10 PM 編輯 ]

各位 填充6  不覺得討論出來的東西很怪嗎?

光log的真數的自然限制 就只能是上半圓了

可是底數的x+y+1不需要討論0<x+y+1<1  和 x+y+1>1 ?
如果在x+y+1>1的情況下 討論到    x^2+y^2<=1
那圖形切出來 會是135度的扇形耶

計算2.
答案是6無誤，最小值5並不會發生，因為AB線段並不與拋物線相交
原式配方後看成P(x,y)至A點距離+P(x,y)至準線y=-1的距離和
最小值發生在PA直線與準線垂直
故答案為5+1=6

填充 6 沒有很怪，圖形如下，虛實線未標