98、99台南女中資優班成就測驗

各位老師們好，
煩請老師們指點一下台南女中成就測驗的這四題，
感激不盡。：)

103.4.7
臺南女中歷屆試題
http://www.tngs.tn.edu.tw/departments/shiwu/dirlisting1.asp

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-4-7 07:15 PM 編輯 ]

98台南女中資優班成就測驗  第8題

\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x^2-x+1=0\Rightarrow (x+1)(x^2-x+1)=0\Rightarrow x^3+1=0\Rightarrow x^3=-1\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^{2010}+\frac{1}{x^{99}}=\left(x^3\right)^{670}+\frac{1}{\left(x^3\right)^{33}}=1-1=0\)

99台南女中資優班成就測驗  第 18 題：

令 \(\overline{BD}=\overline{DE}=\overline{EC}=t\)

在 \(\triangle ABE\) 中，由三角形的中線定理，可知 \(\overline{AB}^2+4^2=2\left(3^2+t^2\right)\)

在 \(\triangle ACD\) 中，由三角形的中線定理，可知 \(\overline{AC}^2+3^2=2\left(4^2+t^2\right)\)

因為 \(\triangle ABC\) 是直角三角形，由畢氏定理，可知 \(\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\left(3t\right)^2\)

上三者，解聯立方程式，可得 \(t^2=5\Rightarrow \overline{AB}=2\sqrt{3}\)

99台南女中資優班成就測驗  第 22 題：

令 \(a=\overline{RT}, b=\overline{RQ}\)

則

\(\left(\left(a-3\right)+\left(b-3\right)\right)^2=a^2+b^2\)

\(\left(a-3\right)+\left(b-3\right)=a+\sqrt{\left(b-4\right)^2-4^2}\)



由後者，可解出 \(b=9\) ，再帶入前者，可得 \(a=12\)

矩形面積 \(=2ab=216\)

99台南女中資優班成就測驗  第 24 題：

題目應該是希望解讀成 \(k-9=qd\) 且 \(14k+17=pd\)

（後面我再補述，我覺得題目敘述的不太好的地方）

先來看看「如此解讀」的話， \(d\) 的可能值，

因為 \(14k+17\) 與 \(k-19\)  有最大公因數 \(d\) ，

則 \(d\Bigg| 14k+17\) 與 \(d\Bigg|k-9\)

\(\Rightarrow d\Bigg| (14k+17)-14(k-9)\Rightarrow d\Bigg|143\)

\(d=1, 11, 13, 143\)

因為 \(q,d\) 都不等於 \(1\)，可知 \(q\) 最小為 \(2\)，\(d\) 最小為 \(11\)

故，\(k-9\) 的最小值為 \(2\times11\)

\(\Rightarrow k\) 的最小值為 \(9+22=31\)

補充：

題目應該是希望解讀成 \(k-9=qd\) 且 \(14k+17=pd\)

可是卻寫成分數型式，不妥，

因為分子分母不只可以「約分」，也可以「括分」，

因此，若取 \(k=11, q=2, p=171\) ，則 \(\displaystyle\frac{14k+17}{k-9}=\frac{171}{2}=\frac{p}{q}=\frac{pd}{qd}\) ，可取 \(d=2\) 亦和題意。

謝謝瑋岳老師的詳細解題說明，
由衷感謝！！！