101復興高中二招

就小弟的印象記憶法，僅供大家參考和討論(題號無法清楚背誦，很抱歉！)
1. 袋中有2個白球和4個紅球，朱哥手中有1個白球，規則為從袋中取一球，在將手中的球放入袋中。每次取球機率都相等，且第三次取出為白球，求第六次取出白球的機率為何？？
2. 甲乙丙三人打靶的機率為\(\alpha 、\beta 、\gamma \)，且\(\alpha < \beta < \gamma \)。三個人都沒打中靶的機率為\(\frac{4}{15}\)，洽中一發的機率為\(\frac{7}{15}\)，洽中兩發的機率為\(\frac{7}{30}\)，且都是獨立事件，求\(\alpha 、\beta 、\gamma \)=？？
3. 若a、b、c、d、e為 \(X^5-2X^4+3X^3-4X^2+5X-6\)的五個根，請求\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-d}+\frac{1}{1-e}\)=？？
4.請證明\(\sum_{K=1}^{n}K^{4}\)
5.若\(Z\)為一個複數，且\(\left | Z \right |\leq \frac{1}{2}\)，請求出 \(Arg(1+Z)\)=？？
6.解出\(cos4\theta =sin\theta\)，且\(0\leq \theta \leq 2\pi \)
7.證明\(X^{n+1}+n> X(n+1)\)
8.計算出\(y^2=x(x-4)^2\)的面積=？？
9.有一個橢圓為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，且\(a>b>0\)，若在橢圓上找一個點為成一個梯形，且下底為長軸，試問此梯形面積最大值為=？？

如果有任何記錯題目的部分，還希望各位老師多多指教！！

自己想要問第5題和第8題！多謝各位老師

(第八題已修改！多謝！)

【註：weiye 將八神庵所提供之官方公告版試題附加於附件。101.07.04】

第5題
畫個圖就解出來了啊！


\(z\) 原在以複數平面上的原點為圓心，半徑為 \(\frac{1}{2}\) 的圓內與圓上  

則 \(1+z\) 即整個圓右移 \(1\) 單位，所以 \(1+z\) 與原點的連線就在上圖中兩條綠色線的夾角區域  

所以 \(0\leq Arg(1+z)\leq \frac{\pi}{6},~\frac{11\pi}{6}\leq Arg(1+z)<2\pi\)  


第8題
   

應該是求所圍區域的面積吧！
如圖：

所求面積為
  
\(2\int^{2}_{0} \sqrt{x(x-2)^2}dx=2\int^{2}_{0} (2-x)\sqrt{x}dx = 2\int^{2}_{0} (2x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}})dx \)
  
\(=2 \left( \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} \right)^{2}_{0}=\frac{32}{15}\sqrt{2}\)
  
樓下說題目應該為 \(y^2=x(x-4)^2\) ，那圖形類似上述
  
做法也一樣得，面積為 \(2\int^{4}_{0} \sqrt{x(x-4)^2}dx=\frac{256}{15}\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:56 PM 編輯 ]

可以請教第七題證明題嗎?謝謝

y^2=x(x-4)^2

我是假設\(f(x)=x^{n+1}+n-x(n+1)\)，再用一次微分及二次微分做，題目好像有給x>1，利用一次微分及二次微分判定遞增及開口向上且當x=1時，f(1)=0，所以當x>1時，f(x)>0。所以\(x^{n+1}+n>x(n+1)\)。題目感覺有點像新北市聯招的一題計算題。

[ 本帖最後由 tacokao 於 2012-7-3 09:11 AM 編輯 ]

題目有公告喔
如附件

【註：weiye 將八神庵所提供之官方公告版試題附加於首篇之附件。101.07.04】

因為他沒有公告答案，我想確認自己有沒有算錯，請問有老師可以提供答案嗎?謝謝

另外想請問第二題，謝謝

利用算幾不等式證明，因為x>1，等號不成立，只有大於符號成立，

根據算幾不等式
\( \displaystyle \frac{x^{n+1}+(1+1+\ldots+1)}{n+1}>\root{n+1} \of {x^{n+1}\times (1 \times 1 \times \ldots \times 1)}=\root{n+1} \of {x^{n+1}}=x \)

\( x^{n+1}+n>x(n+1) \)

已知兩數列 { an } 與 { bn } 有以下的關係：a_n＋3＝3a_n－10b_n，b_n＋3＝2a_n－7b_n；a_n＋5＝7a_n－25b_n，b_n＋5＝5a_n－18b_n，其中 n 為自然數。若a_n＋1＝pa_n＋qb_n，b_n＋1＝ra_n＋sb_n，試求數對 ( p，q，r，s )。

我用了矩陣去做，但怎麼都換不出a_n+1與a_n及b_n的關係，不知道哪出錯？