101師大附中(含計算題)

熱騰騰的考題剛出爐，先 po 一下計算證明的部分，其它晚點應該會公佈
101 師大附中計算證明題，除第三題，兩小題各 5 分外，其餘每題 9 分

1. \( a>0 \), \( b>0 \), \( \theta\) 銳角，求 \( \frac{a}{\cos\theta}+\frac{b}{\sin\theta} \) 的最小值。

2. \( \triangle ABC \) 中， \(G\) 為重心。直線 \(L\) 過 \(G\) 與 \(\overline{AB}\) 和 \(\overline{BC}\) 分別交於 \(M\) 和 \(N\)。

\( \overline{BM}=p\overline{BA} \), \( \overline{BN}=q\overline{BC}\)，求 \(pq\) 最小值。

3. \( a_{1}=2\), \(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})\), for \(n\geq1\)。

(1) 證明 \( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\) 存在。

(2) 證明 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\) 收斂。

4. \( A_{n\times n}=[a_{ij}]\), \(B_{n\times n}=[b_{ij}]\)，其中 \(b_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}a_{ik}-a_{ij}\)。\(\det A=a\), 求 \(\det B\) (以 \(a\) 表示)。

5. 求 \( \sum\limits_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\) 的所有正整數解。

6. 求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於 \(\frac{2}{9}\) 的機率。

7. \(P(a,b)\) 在 \(x^{2}+y^{2}=5\) 上，求滿足 \(\log_{2}(b-a)-\log_{8}(3b-5a)=0\) 的所有點 \(P\)。

以上，題號序應該沒錯，而敘述也大概接近原本的文字，如有錯誤，還請指正

PS:感謝一起幫忙回憶的夥伴們^^

【註：weiye 於 2012/05/12, 17:10 加上師大附中公佈的參考答案檔案。】

計算題第一題
\(a>0,b>0\)，\(\theta\)為銳角，求\(\displaystyle \frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\)的最小值。
[解答]
用廣義的柯西不等式。
\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
\(\displaystyle \left[\left(\root 3\of{\frac{a}{cos\theta}}\right)^3+\left(\root 3\of{\frac{b}{sin\theta}}\right)^3 \right]
\left[\left(\root 3\of{\frac{a}{cos\theta}}\right)^3+\left(\root 3\of{\frac{b}{sin\theta}}\right)^3 \right]
\left[(\root 3 \of{sin^2 \theta})^3+(\root 3 \of{cos^2 \theta})^3\right]\ge \left[\root 3 \of{a^2}+\root 3 \of{b^2}\right]^3\)
\(\displaystyle \left(\frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\right)^2\times 1\ge\left[\root 3\of {a^2}+\root 3\of {b^2}\right]^3\)
\(\displaystyle \frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\ge \left(\root 3 \of {a^2}+\root 3 \of {b^2}\right)^{\frac{3}{2}}\)

想請教是填充 2 ，上面的計算題，只是趁現在還記得，先寫下來而已。

填充 2：\( \triangle ABC \) 中 \(\overline{AB}=12\), \( \overline{AC}=8 \), \( D \) 在 \( \triangle ABC \) 內部，且 \( \angle ABD =\angle ACD \), \( \angle ADB \) 是直角。 \( M \) 為 \( \overline{BC} \) 中點，求 \( \overline{DM} \)

感覺應該是用外接圓，對同弧，在沒做出來，那時候找了一個特例，不過敲鐘後，發現找的特到 \( D \) 在三角形外面...

這題也是想超久，第二題就卡住了，繼續努力想看看了。

6.
求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於\(\displaystyle \frac{2}{9}\)的機率。
[解答]
相當於求紅色部分的面積

最新一期的數學傳播「美國高中數學測驗AMC 12之機率問題(下)」
有探討機率問題，像這種就是以a,b所在的區域面積R為分母
分子為事件發生區域的面積

這一題分母的區域面積為1，故所求機率就是事件發生的區域面積

曲線部分為雙曲線xy=2/9在第一象限的部分
直線x+y=1與xy=2/9交會的面積為(1/6)-(2/9)ln2
所求面積=三角形-交會面積=(1/2)-[(1/6)-(2/9)ln2]=(1/3)+(2/9)ln2

填充 2
設\(D\)為\(\Delta ABC\)內一點使得\(\angle ACD=\angle ABD\)，且\(\angle ADB=90^{\circ}\)，\(M\)為\(\overline{BC}\)的中點。已知\(\overline{AB}=12\)，\(\overline{AC}=8\)，則\(\overline{DM}=\)　　　。
[解答]
自問自答一下
做 \( \triangle ABD \) 的外接圓，其圓心為 \(E\)，將此圓對 \(\overline{AD}\) 作對稱。




以\( '\)表示之，則 \(D\) 為 \(\overline{BB'}\) 中點，又 M 為 \(\overline{BC}\) 中點，


而由 \( \angle ABD = \angle ACD \)，得 \(C\) 兩圓上，且不在 \(AD\) 劣弧上。再由 \(D\) 是內部點的條件，可知是右邊下方的 \( BD \)弧上
所以 \( \overline{DM}=\frac{1}{2}\overline{B'C}=\frac{1}{2}\sqrt{12^{2}-8^{2}}=2\sqrt{5} \)

第二題這樣做還真殺~真是漂亮

另外，自己整理了部分的計算題，也請大家指教一下
考了幾間，一直感覺還沒有抓到應有的節奏......

我比較想要問填充三題目是不是給錯了啊？
已知∫f(x)  dx = k
       0→1
求
  ∫  dx ∫  f(x)f(y)dy
0→1         x→1
他的dx是不是應該要放到最後面去才是呢？

只是記號不同而已

那種寫法也是有人用

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