96玉里高中的一題

best2218

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1^# 大中小發表於 2013-5-8 16:08 只看該作者

96玉里高中的一題

若x

R，y+z=1且x2+y2+z2=1則x的範圍為何？
正確的解法：
易知y2+z2+2yz=1所以2yz=x2
2y(1−y)=x2再利用判別式，−2

2
如果今天學生使用柯西不等式
(x2+y2+z2)(12+12+12)

(x+y+z)2=(x+1)2
找出來的範圍明顯與答案不同，該如何向學生解釋？

做到這題的時候，突然想利用柯西不等式做做看
可是答案明顯不符，如果今天學生問起相關問題
要如何解釋柯西不等式算出來不夠清確的情況?

謝謝各位老師!

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2013-5-8 20:59 只看該作者

請學生檢查"等號"會不會成立

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best2218

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3^# 大中小發表於 2013-5-8 23:18 只看該作者

回復 2# thepiano 的帖子

拍謝，自己代的時候眼殘，還想說哪邊出問題!
簡單的問題說 XD
謝謝!

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dav

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4^# 大中小發表於 2013-5-9 10:17 只看該作者

引用:

原帖由 best2218 於 2013-5-8 11:18 PM 發表
拍謝，自己代的時候眼殘，還想說哪邊出問題!
簡單的問題說 XD
謝謝!

柯西應該是用
( y^2+z^2 ) ( 1 + 1 ) 大於等於 ( y + z )^2 作

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best2218

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5^# 大中小發表於 2013-5-9 15:08 只看該作者

回復 4# dav 的帖子

不過我想知道的是
為什麼這題在這樣的情況下使用柯西不等式會有漏洞(當然，可以從檢查等式是否成立來判斷)
那能不能在做這個題目之前，就對兩種方法做好取捨，而不是事後才發現會有瑕疵!
造成差異到底在哪邊?
就像dav老師，他換了這個角度使用柯西不等式就OK! 但是原始的卻不行，
想法的不足或者該注意的地方在哪?
謝謝各位老師!

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weiye

瑋岳

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6^# 大中小發表於 2013-5-9 17:30 只看該作者

回復 5# best2218 的帖子

找出來的「上界(or 下界)」不一定就會是「最大值(or 最小值)」，

還要檢查「等號是否有可能成立」才知道其值是否為最大(或最小)值。

尤其是連續串接好幾個不等式才找到上界(or 下界)時，更要檢查等號是否會同時成立。

ps. 這個觀念在平常教學生不等式的時候，也要常常叮嚀！

　　例：已知 x 為 "正整數"，易知 x

−100。

　　　提問那是否表示 x 的"最小值"為 −100？

多喝水。

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