2000 - AMC10

poemghost

天哥．數醉

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1^# 大中小發表於 2012-12-9 05:12 只看該作者

2000 - AMC10

設 \(A,M,C\) 均為非負整數，且滿足 \(A+M+C=10\) ，

試問 \(AMC+AM+MC+CA\) 的最大值為何？

想請問各位同好，該怎麼用不等式的方法解出最大值69？

.

越學越多，越發現自己是多麼渺少...微不足道

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dream10

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2^# 大中小發表於 2012-12-9 08:33 只看該作者

AMC+AM+MC+CA=(A+1)(M+1)(C+1)-(A+M+C)-1=(A+1)(M+1)(C+1)-11

又(A+1)+(M+1)+(C+1)=A+M+C+3=13

為了使(A+1)(M+1)(C+1)最大~~所以(4,4,5)<---可以互相交換

所求(A+1)(M+1)(C+1)-11=4*4*5-11=69

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poemghost

天哥．數醉

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3^# 大中小發表於 2012-12-9 11:54 只看該作者

感謝DREAM師

此解法我知道，但要怎麼跟學生解釋445呢？→用算幾 ^^!!

所以我在想有沒有用不等式的方法，

但因為是離散量，因此可能會有點困難。

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-12-9 12:07 PM 編輯 ]

越學越多，越發現自己是多麼渺少...微不足道

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dream10

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4^# 大中小發表於 2012-12-9 15:07 只看該作者

不是分類就可以了嗎

(1,1,11)~~(1,2,10).....持續下去~~慢慢分+觀察~~

我的想法

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tsusy

寸絲

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5^# 大中小發表於 2012-12-9 15:43 只看該作者

回復 3# poemghost 的帖子

可以直接利用二次函數的配方，證明：兩非負實數 a, b 之和為某定正數時，當兩數之差愈小時，ab 和 (a+1)(b+1) 之值愈大

因此極值只能在 3,3,4 發生 (其它情況，可以大數減 1 小數加 1 ，而得更大之可能)

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