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2013澳洲AMC

ferng

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1^# 大中小發表於 2013-10-8 05:57 只看該作者

2013澳洲AMC

題目如下：
在一場曲棍球比賽中，如果在比賽中兩支交手球隊的進球數之差從未超過2
時，則稱這兩支球隊「實力相當」。若兩支球隊共進12 球且兩支球隊一直處
於「實力相當」的情況，請問整個球賽共有多少種不同可能的賽況？

在兩隊：7比5、6比6，及5比7等三種情形下，如何做不盡相異物排列？
麻煩各為前提點指導，謝謝！

102.10.9補充
題目下載
http://www.chiuchang.org.tw/modules/news/article.php?storyid=496

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ferng

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2^# 大中小發表於 2013-10-8 11:16 只看該作者

不好意思！
我想到用catalan number的方式，在7X5的路徑可求得243X2=486，在6X6的路徑可求得486，合計為972種方法。
請大家多多指教！

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bugmens

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3^# 大中小發表於 2013-10-8 12:13 只看該作者

比賽過程比分的差距不能超過2分
所以棋盤格能走的只有中間部份而已
最後終點為(5

7)

(6

6)

(7

5)
答案243+486+243=972

附件

2013澳洲AMC高級卷第26題.png (17.46 KB)

2013-10-8 12:13

2013澳洲AMC高級卷第26題.png

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ferng

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4^# 大中小發表於 2013-10-13 09:37 只看該作者

2013澳洲AMC第30題

麻煩各位先進幫忙；
這一題是2013澳洲AMC第30題：
在座標平面上，一個銳角三角形的三個頂點的座標都是不同的整數且沒有任
何一條邊與座標軸平行。若此三角形的面積為348 且其中一條邊的邊長為
29，請問另二條邊的邊長之乘積是多少？

想說和皮克公式有關嗎？但是不知如何計算內部點數？
請大家不吝指導，謝謝！

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thepiano

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5^# 大中小發表於 2013-10-13 10:36 只看該作者

20^2 + 21^2 = 29^2

定坐標 A(1，0)，B(22，20)，C(a，b)

△ABC 面積 = (21b - 20a + 20)/2 = 348

a = (21b - 676)/20

易知 a = 4，b = 36

所求為 870

[ 本帖最後由 thepiano 於 2013-10-13 10:38 AM 編輯 ]

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tsusy

寸絲

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6^# 大中小發表於 2013-10-13 10:57 只看該作者

回復 1# ferng 的帖子

邊長、格子點：x2+y2=292 之正整數解為 x=20

y=21 或 x=21

y=20

不失一般性(平移、對稱) 可假設，其中兩點坐標為 A(0

0)

B(20

21)

由面積為 348，可知另一頂點 C 在 21x−20y=

2

348

其整數解有 (x

y)=

(16+20n

−18+21n)，這些格子點兩兩對稱於 AB 中點，與 A, B 所連成的三角形全等，

故僅需檢驗一組 (x

y)=(16+20n

−18+21n), n 太大或太小時，圖形上明顯

A 或

B 為鈍角，

故僅需檢驗 n=0,1 (其它圖一看，就鈍角)。兩者僅 C(36

3) 合，因此 AC=

362+32=3

145

BC=

162+182=2

145 ，故所求 =6

145=870。

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