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關於數學歸納法最後一步

zidanesquall

1# 大 中 小 發表於 2015-4-2 12:35  只看該作者

關於數學歸納法最後一步

各位先進，想請問一下這樣子的邏輯是對的還是錯的

在做數學歸納法的證明的時候，我們會假設P(k)成立，最後推得P(k+1)成立

也就是將P(k+1)做計算跟化簡成k+1代時的式子

我們是以p->q的方式去想

例如：1+2+3+...+n=n(n+1)/2

那在最後一步我們通常都會用 假設1+2+...+k=k(k+1)/2成立

最後 將 "1+2+3+...+k+(k+1)" 計算到 "(k+1)(k+1+1)/2" 這樣子推論就算正確

如果~~

將左式拆開，也將最後的推論也就是右式也拆開

這樣子左式=右式，推論成立

這樣子的邏輯是錯的嗎??

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thepiano

2# 大 中 小 發表於 2015-4-2 12:46  只看該作者

回復 1# zidanesquall 的帖子

對不對要看您有沒有用到 1+2+...+k=k(k+1)/2 這個假設

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zidanesquall

3# 大 中 小 發表於 2015-4-2 12:52  只看該作者

回復 2# thepiano 的帖子

1+2+...+k=k(k+1)/2，我已經假設成立了

我要往下推論當n=k+1的時候

以正常的計算跟推論

1+2+...+k+(k+1)=.....=(k+1)(k+1+1)/2

所以原式成立

若我只是將兩式展開

左=1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+k(k+1)  全部展開
右=(k+1)(k+1+1)/2 全部展開

我說兩個式相等，所以推論成立

這樣子是否有誤?

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2015-4-2 12:54 PM 編輯 ]

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thepiano

4# 大 中 小 發表於 2015-4-2 13:02  只看該作者

回復 3# zidanesquall 的帖子

應是 左=1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)
由於在上式已用了您假設的條件，所以小弟覺得兩個展開比較的方法是對的，只是寫法不好！

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zidanesquall

5# 大 中 小 發表於 2015-4-2 13:10  只看該作者

回復 4# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴大

因為剛好這次段考有學生這麼寫，有老師提出質疑覺得這樣子的邏輯思考是錯誤的

他覺得應該是 1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=...=(k+1)(k+1+1)/2

不能像我說的第二個狀況

左=1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)
右=(k+1)(k+1+1)/2

再將兩個都展開，說左式跟右式相等，就說由數學歸納法，原命題成立

我們在做數學歸納法，本來就會假設P(k)這個命題成立

最後利用這個假設成立推論到P(k+1)這個命題成立

那這兩種說明方式應該都是成立的才對

因為這個是可以計算，所以可以等號等過去，那左=右應該也是可以的

我的想法是這樣子

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