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101中一中科學班試題

kuen

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1^# 大中小發表於 2013-1-25 08:35 只看該作者

101中一中科學班試題

p,q皆為質數
q^3=p^2-p+1,求數對(p,q)
多謝

101.1.26版主補充
補上題目連結http://www.tcfsh.tc.edu.tw/web/adm/exam/sci/exam.htm

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-1-26 06:44 AM 編輯 ]

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Ellipse

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2^# 大中小發表於 2013-1-25 15:02 只看該作者

引用:

原帖由 kuen 於 2013-1-25 08:35 AM 發表
p,q皆為質數
q^3=p^2-p+1,求數對(p,q)
多謝

這題之前有人在網路上問過
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1012041002403
不曉得還有沒有更快的方法?

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cplee8tcfsh

彬爸

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3^# 大中小發表於 2013-1-26 00:38 只看該作者

(1)
q<p
pf: 若 q

p 則左減右= q3−p2+p−1

p3−p2+p−1=(p−1)(p2+1)

=0

(2)
因式分解得 p(p−1)=(q−1)(q2+q+1)
知質數 p整除(q−1)(q2+q+1) 且 p 不整除 (q-1) ,故 p 整除 (q2+q+1)
令 q2+q+1=kp ,其中 k 為正整數 ,得 (p-1)=k(q-1)
上行二式消p
得 q2+q+1=k2(q−1)+k
左右同除以 (q-1)
q−1q2+q+1=(q+2)+3q−1=k2+kq−1

(3)
若令 k2=q+2 得 k=3 得 q=7 得 p=19 為一組解

(4)
以下證明若 k2

=q+2 則無解
(4.1)
若 k2

q+1 則 k2(q−1)+k

k2(q−1)+k2

(q+1)(q−1)+(q+1)=q2+q

q2+q+1 不合
(4.2)
若 k2

q+3 則 k2(q−1)+k

(q+3)(q−1)+3=q2+q+q

q2+q+1 不合
其中 k2

q+3

2+3 故 k

三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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kuen

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4^# 大中小發表於 2013-1-26 16:46 只看該作者

多謝

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kuen

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5^# 大中小發表於 2013-1-26 22:03 只看該作者

(q-1)(q^2+q+1)=p(p-1)
顯然p>q
p是q^2+q+1的因數,設q^2+q+1=kp,則p-1=k(q-1),消掉p
q^2-(k^2-1)q+(k^2-k+1)=0,假設兩根為A,B,則
A+B=k^2-1,AB=k^2-k+1
AB-A-B=2-k
(A-1)(B-1)=3-k>0或=0
k=1,2,3
k=1,2時,不合;k=3時,q^2-8q+7=0,q=7或1(不合)
q=7時,求出p=19

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cplee8tcfsh

彬爸

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6^# 大中小發表於 2013-1-28 15:25 只看該作者

回復 5# kuen 的帖子

嗯用根與係數處裡更快
謝謝

三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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