101中和高中

101 中和高中考題
以為會公佈，發現沒有，把記憶中的題目記下來
希望大家一起討論

填充題還有一題是兩方程式相切   其中一個有待定係數\(k\)
問\(k\)及兩方程式所圍之面積\(m\)，以數對\((k,m)\)表示

不過忘了詳細數字了
另外  真的有那個四面體的題目喔   完全沒印象...

感謝分享！！
計算第一題：
(1) 中的不等式印象中好像是小於，
因為 b+c>a, 所以 a(b+c)>a^2, 同理 c(a+b)>c^2, b(c+a)>b^2
三式相加 得到 a^2+b^2+c^2 <2(ab+bc+ca) , 兩邊再加上 2(ab+bc+ca), 得證

(2) 利用算幾不等式, (a+b-c)+(b+c-a) 大於等於 2sqrt ( (a+b-c)(b+c-a) )
      得到 b 大於等於 sqrt ( (a+b-c)(b+c-a) ),  同理
               c 大於等於 sqrt ( (b+c-a)(c+a-b) )
               a 大於等於 sqrt ( (a+b-c)(c+a-b) ) , 三式相乘得到
              abc 大於等於 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b), 等號同時成立在 a=b=c 時

計算第二題的數據好像是 f(x)=x^3 -5x^2 +4x 及圖形上一點 (1,0),
印象中算出來好像答案是 4/3, 待補完。

若\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)是方程式\(x^3-6x^2+ax+a=0\)的三根，且\((\alpha-3)^3+(\beta-3)^3+(\gamma-3)^3=-6\)，則\(a\)之值為何？

補充一題有印象的填充題

想請問第九題的討論方式，感謝指導

填充第 9 題：
某人初次投籃投進的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)，當他投進一球後，則下一球投進的機率為\(\displaystyle \frac{4}{5}\)，當他有一球投不進後，下一球投進的機率為\(\displaystyle \frac{3}{5}\)。若某人總共投四次球，則投進次數的期望值為？

初始矩陣 \(\displaystyle X_1=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]\)

轉移矩陣 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{4}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]\)

\(\displaystyle X_2=PX_1=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{7}{10}\\ \frac{3}{10}\end{array}\right]\)

\(\displaystyle X_3=PX_2=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{37}{50}\\ \frac{13}{50}\end{array}\right]\)

\(\displaystyle X_4=PX_3=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{187}{250}\\ \frac{63}{250}\end{array}\right]\)

所求＝\(\displaystyle 1\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{7}{10}+1\cdot\frac{37}{50} +1\cdot\frac{187}{250}=\frac{336}{125}\)

感謝老師指導，覺得自己要學的還好多...

6' 設一骰子連續投擲n次出現的點數依序為x_1,x_2,...x_n，,令Y_n=x_1+x_2+...+x_n，
Y_n為7的倍數之機率為P_n，,求P_n=?(以n表示)

10. 已知方程式 x^3-3(a+1)x^2+6ax-2a=0，和x軸只有一個交點，
則 a 的範圍?

6. 二招：遞迴、生成函數

遞迴法：\(\displaystyle P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \Rightarrow P_n = (\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)  (感謝 martinofncku 挑出筆誤)

生成函數：\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{6^n} \cdot (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n \)

令 \(\displaystyle \omega = \exp(\frac{2\pi i}{7}) \), 所求 \( = \frac{1}{7} \left( f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)+f(\omega^3)+f(\omega^4)+f(\omega^5)+f(\omega^6) \right) =(\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)

類題：

(100中科實中) 一袋中有 5  個球，分別寫上 1,2,3,4,5  號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續 n  次，若 \( P_{n} \) 表記錄到  n   次時數字和為偶數的機率，則 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_{n})=\underline{\qquad\qquad} \) 。     

(100鳳山高中) 袋中有 \( 1,2,\ldots,9 \)  號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取 n  次，n  次和為偶數的機率記為 \( P_{n} \) ，
求 (1) \( P_{n+1} \)  及 \( P_{n} \)  之關係式
(2) \( \lim\limits _{n\to\infty}P_{n} \) 。     

(99鳳新高中) 不透明箱內有編號分別為 1  至 9  的九個球，每次隨機取出一個，記錄其編號後放回箱內；以 P(n)  表示前 n  次取球的編號之總和為偶數的機率。求 P(n)。
   
(99高雄高中) 一隻青蛙在 \( a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \)  六相異點跳動，每次跳動之落點異於起跳點，若從 a  起跳，n  次後跳回 a  點有幾種跳法？     

(100桃園新進聯招) n  個人安排進入 A 、B 、C  三間房間，A  房間有奇數個人，請問有幾種不同的安排方法？

請問寸絲老師,你遞迴法中的通項公式
\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \)
是否筆誤為
\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_n \)