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100基隆高中二招

YAG

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1^# 大中小發表於 2011-8-7 08:57 只看該作者

100基隆高中二招

這是我從美夢成真網站轉過來的檔案答案是乎很完美不過是錯的請問錯在哪這題的答案是 2
那正解又如何

100.8.7版主補充
我幫你更正文章標題及出處。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2655

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-8-7 02:14 PM 編輯 ]

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2011-8-7 14:22 只看該作者

這個方法錯在不等式右邊要是個定值
才有當x=？,y=？時，最小值為？

這題可以用偏微分來做，當x=−67，y=21時有最小值2

補充歷屆考題
設x

y

R，P=(x+y−1)2+(2x−2y+1)2+(−3x+y+5)2，求P的最小值？
(96豐原高商)

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weiye

瑋岳

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3^# 大中小發表於 2011-8-7 14:58 只看該作者

回復 1# YAG 的帖子

上面只有解到 f(x

y)

3A

但，沒有說明為何

3A 的最小值～會是發生在當 A=B=C 時。

當 A=B=C 時，是當 f(x

y)

3A

　　　　　　　　　　　　　　　 ^^^^^^ 的等號成立時，

但該解法漏掉說明，何以

3A

3

2

　　　　　　　　　　　　　　^^^^^^^ 的等號會成立？

以下提供兩個做法～

解一：

　　A=2x+2y+2

　　B=x+3y+1

　　C=2x+4y−1

　　因為上面三個等號的右手邊只有兩個未知數，

　　所以一定會滿足特定關係式（想想如何拼湊～以消掉 x

y），

　　找出其關係式如下 A+2B−2C=6

　　由柯西不等式，可得

　　　　(A2+B2+C2)(1+22+(−2)2)

(A+2B−2C)2

　　　　

(A2+B2+C2)

9

36

　　　　

A2+B2+C2

2

　　且當等號成立時，

　　　　12x+2y+2=2x+3y+1=−22x+4y−1

　　可解得 x=6−7

y=21

解二：

　　(2x+2y+2)2+(x+3y+1)2+(2x+4y−1)2

　　=9x2+30xy+29y2+6x+6y+6

　　=(3x+5y+1)2+4y2−4y+5

　　=(3x+5y+1)2+(2y−1)2+4

　　

0+0+4=4

　　所以，

　　

(2x+2y+2)2+(x+3y+1)2+(2x+4y−1)2

2

　　且當等號成立時，

　　　　3x+5y+1=0 且 2y−1=0

　　可解得 x=6−7

y=21

　　（還是有人不喜歡解二的配方，想改用微分也可以！）

多喝水。

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YAG

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4^# 大中小發表於 2011-8-7 23:36 只看該作者

回復 3# weiye 的帖子

謝謝老師的說明!

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Joy091

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5^# 大中小發表於 2011-8-8 10:24 只看該作者

回復 4# YAG 的帖子

另舉一例說明 :

已知 x

21

y=x2+2

x ，試求 y 的最小值?

由算幾不等式 y=x2+

x+

x

3

3x2

x

x=3x

它告訴我們的只是圖形 y=x2+2

x 恆在 y=3x 上方，

當等號成立時，解出 x=1,y=3 代表的是圖形 y=x^2+2\sqrt{x} 與 y=3x 的切點，

而不一定是我們所要的 y=x^2+2\sqrt{x} 的最低點!

所以說，如果不等式的一端已經是定值，其實代表一條水平線，
此時若有切點，那就是我們要的最低(高)點了!

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-8 10:34 AM 編輯 ]

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cefepime

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6^# 大中小發表於 2016-9-12 16:23 只看該作者

本題亦可考慮 "數形結合"。

想法一: 視所求為 "空間中兩直線的距離"。

所求即兩直線 {a = 2x, b = x, c = 2x} 與 {a = -2 - 2y, b = -1 - 3y, c = 1 - 4y} 的距離。

空間中兩歪斜線的距離求法甚多，例如:

兩直線方向向量外積 = (2, 4, -4) → 取 (1, 2, -2)

所求即 (2, 1, -1) 在 (1, 2, -2) 的投影長 = |(2+2+2) / √9| = 2

想法二: 視所求為 "空間中點至平面的距離"。

因 (2, 1, 2) 不平行 (2, 3, 4)，故 (2x+2y+2, x+3y+1, 2x+4y-1) 可視為"平面的參數式"，該平面為

E: a + 2b - 2c = 6 (係數可由 (2, 1, 2) x (2, 3, 4) 取得)

所求即原點至 E 的距離 = 6 /√9 = 2

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-9-12 04:35 PM 編輯 ]

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