101北一女中二招

請問

計算4 : a_(n+1)=(1/13)[(a_n)^3-12] , 當alpha < a_1 < beta 時, a_n為收斂數列, 求 (1) alpha=? beta=?  (2) lim a_n (n-> infinte) =?

填充 2: z=c0s(2pi/17)+isin(2pi/17) , 若 f(x)=[x^100+x^99+x^98+.........+x+1+z] / x^101 , 求f(1+z的共軛)=?


【註：2012/07/06 weiye 將附加檔案更正為 katama5667 老師所提供的官方更正版。】

2.
設複數\(\displaystyle z=cos\frac{2\pi}{17}+i sin\frac{2\pi}{17}\)，\(\overline{z}\)為\(z\)的共軛複數。若定義函數\(\displaystyle f(x)=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{100}x^k+1+z}{x^{101}}=\frac{x^{101}+x^{99}+\ldots+x+1+z}{x^{101}}\)，則\(f(1+\overline{z})\)為　　　。
[解答]
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1+z}{x^{101}-1+1} \)
\(\displaystyle      =\frac{x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1+z}{(x-1)(x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1)+1} \)
令 \( g(x)=x^{100}+x^{99}+\cdots +x+1 \)
所以，\(\displaystyle f(1+\bar{z})=\frac{g(1+\bar{z})+z}{\bar{z}g(1+\bar{z})+1}=z=cos\frac{2\pi }{17}+i sin\frac{2\pi }{17} \)

請問填充第５及第８及
計算4 : a_(n+1)=(1/13)[(a_n)^3-12] , 當alpha < a_1 < beta 時, a_n為收斂數列, 求 (1) alpha=? beta=?  (2) lim a_n (n-> infinte) =?

填充1.到7.請參考附檔
填充8. 我算的是344/225，與解答不同，暫不附上。
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5. (2)有筆誤，"-"在根號內才對。

請問第四列，所以之後，那個式子如何等於z呢?謝謝

計算4
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{13}(a_n^3-12) \) ，求收斂範圍及收斂值。

考慮此數列的遞增遞減範圍，也就是找
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{13}(a_n^3-12) > a_n \) 的範圍
\(\displaystyle (a_n+3)(a_n+1)(a_n-4) > 0 \)
\(\displaystyle -3 < a_n < -1 or 4 < a_n \)
意即若 \(\displaystyle -3 < a_1 < -1 or  4 < a_1 \)，數列 \( <a_n> \) 遞增； (感謝 rudin 提醒)
當 \(\displaystyle a_1=-3, -1, 4 \) ，數列 \( <a_n>=<-3> , <-1> , <4>  \)
當 \(\displaystyle a_1 < -3 or -1 < a_1 < 4 \) ，數列 \( <a_n> \) 遞減。
所以
當 \(\displaystyle a_1 > 4 \) ，\( <a_n> \) 發散；
當 \(\displaystyle a_1 = 4 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow 4 \)；
當 \(\displaystyle -1 < a_1 < 4 \) ，\( <a_n> \) 遞減有下界， \(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle a_1 = -1 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle -3 < a_1 < -1 \) ，\( <a_n> \) 遞增有上界， \(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle a_1 = -3 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow -3 \)；
當 \(\displaystyle a_1 < -3 \) ，\( <a_n> \) 發散。

綜上所述，當 \(\displaystyle -3 \le a_1 \le 4 \) ，\( <a_n> \) 收斂；收斂值為 \(\displaystyle -3, -1, 4 \)

謝謝 lianger , Fermat ,   老王老師 , 謝謝!!

分子分母同乘以\(z\) ，\(z \times \bar{z} =1 \)。

懂了~謝謝

想請教填充第8題,謝謝