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102北一女中

weiye

瑋岳

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1^# 大中小發表於 2013-4-12 20:03 只看該作者

102北一女中

北一女102學年度第1次教師甄選數學科筆試測驗題試題暨答案

只有公布填充題部份的 6 題

----------以下部分計算題內容由 kpan 網友提供------------

3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？

4. 令A(x,0)和B(0,y)分別為x軸和y軸上移動,且AB=1,以AB的長度做一正方形ABCD,令P為CD上的中點,求P的軌跡方程式以及圖形為何？

5. 有5個相同的黑棋和 5個相同的白棋,排成一列 ,若連續出現三顆依序為"黑白黑"的機率為？

附件

102北一女.pdf (125.61 KB): 2013-4-12 20:03, 下載次數: 13422

多喝水。

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brace

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2^# 大中小發表於 2013-4-13 10:28 只看該作者

請教填充第六題

可以請教填充第六題嗎？謝謝

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tsusy

寸絲

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3^# 大中小發表於 2013-4-13 12:22 只看該作者

回復 2# brace 的帖子

令 P(x)=(x−

)(x−

)，由 P(x2+4x−7)=0 有一根為 1 可得

=−2 或

=−2

不失一般性，令

=−2

又 P(x2+4x−7)=(x2+4x−7+2)(x2+4x−7−

)=(x+5)(x−1)(x2+4x−7−

) 有重根

因此此重根為 1 或 -5，或者 x2+4x−7−

=0 有重根

因此得

=−2 或 −11

故 P(5)=(5+2)2=49 或 (5+2)(5+11)=112

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Joy091

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4^# 大中小發表於 2013-4-13 12:22 只看該作者

我的解法有用到微分

令 f(x)=P(x2+4x−7)=(x2+4x−7)2+b(x2+4x−7)+c
則有 f(1)=0，即 4−2b+c=0

另外因為至少有一重根，所以在 f

(x)=0 的實數解之中，至少有一個滿足 f(x)=0
於是由 f

(x)=2(x2+4x−7)(2x+4)+b(2x+4)=(2x+4)(2x2+8x−14+b) 知道
f(−2), f(x1), f(x2) 至少一個為零，
其中 x1

x2 為 2x2+8x−14+b=0 的兩根。

f(−2)=0 時，得到 112−11b+c=0

b=13

c=22

P(5)=112
f(x1)=0 時，因為 2x21+8x1−14=−b，得到 (−2b)2+b2−b+c=0,
c=4b2

b=4

c=4

P(5)=49

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-13 12:28 PM 編輯 ]

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brace

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5^# 大中小發表於 2013-4-13 15:55 只看該作者

回復 3# tsusy 的帖子

謝謝，我懂了，感謝^_^

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brace

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6^# 大中小發表於 2013-4-13 15:56 只看該作者

回復 4# Joy091 的帖子

兩種方法都很好，受教了，感謝^_^

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addcinabo

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7^# 大中小發表於 2013-4-13 17:49 只看該作者

想請教第3题，我個人是用慢慢推的方式
可是我覺得很慢，很難找
我覺得應該有個比較有系統的方式
請大家給小弟一點方向，感謝先^.^

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tsusy

寸絲

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8^# 大中小發表於 2013-4-13 18:12 只看該作者

回復 7# addcinabo 的帖子

第3題

以下的記號是 a=a1, n=k

2a+a+(n−1)

n=2000

(2a+n−1)

n=4000

n

4000 又 2a=\frac{4000-(n^{2}-n)}{n}>0\Rightarrow n\leq63 。

而 4000=2^{5}\cdot5^{3} ，由 n\mid4000 及 2\leq n\leq63 ，得 n 之可能有 2,4,8,16,32,5,10,20,40,25,50 。

但 2a 為偶數可得 2 , 4 , 8 , 16, 10 , 20 , 40, 50 不合。 (這些 n 使得 \frac{4000}{n}-n+1= 偶- 偶+1= 奇)

故 (n,a)=(32,47) , (5,398) , (25,68) 。

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cally0119

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9^# 大中小發表於 2013-4-13 20:30 只看該作者

請問一下第4題我的想法是p(1,5,7)到平面E的最短距離,E事由向量b及向量c所展的平面.但我的答案算出來是 1/根號3 ?是我的想法錯了嗎?

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tsusy

寸絲

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10^# 大中小發表於 2013-4-13 21:38 只看該作者

回復 9# cally0119 的帖子

第4題，方法是對的，應該只是計算錯誤而已

\vec{b} \times \vec{c} = (-1,2,-1) ，故平面 E 之方程式為 x-2y+z=0

點 P(1,5,7) 到平面之距離為 \frac{|1-10+7|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

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