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第3題
以下的記號是 \( a = a_1 \), \( n = k \)
\( \frac{a+a+(n-1)}{2}\cdot n=2000\Rightarrow(2a+n-1)\cdot n=4000\)
\( \Rightarrow n\mid4000 \) 又 \( 2a=\frac{4000-(n^{2}-n)}{n}>0\Rightarrow n\leq63 \) 。
而 \( 4000=2^{5}\cdot5^{3} \) ，由 \( n\mid4000 \) 及 \( 2\leq n\leq63 \)，得 \( n \) 之可能有 \( 2,4,8,16,32,5,10,20,40,25,50 \) 。
但 \( 2a \) 為偶數可得 \( 2 , 4 , 8 , 16, 10 , 20 , 40, 50 \) 不合。 (這些 \( n \) 使得 \( \frac{4000}{n}-n+1= \) 偶- 偶+1= 奇)
故 \( (n,a)=(32,47) , (5,398) , (25,68) \) 。
