99基隆高中

題目不算難每次這種題目都考不好
心情差

題目有少打
第一題  csc少打theta

第四題  p,q兩個互質

1.設有一奇整數n及一角θ使得聯立方程式
\( \cases{3^n y+(sin 2 \theta)^n z=0 \cr
(1+sec \theta)^n x+z=0 \cr
-x+(1+csc \theta)^n y=0} \)
中的x,y與z不只一組解，試求\( sin \theta+cos \theta+tan \theta+cot \theta+sec \theta+csc \theta \)之值。
(98台灣師大大學甄選入學指定項目甄試試題)
[提示]
利用行列式為0，得到\( \displaystyle (sin \theta+1)(cos \theta+1)=\frac{3}{2} \)


2.證明：\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \Bigg(\; 1+\frac{1}{n} \Bigg)\; ^n \)有極限值？
(97全國高中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958　連結已失效)


3.(1)\( \displaystyle tan \frac{\pi}{13} tan \frac{2 \pi}{13} tan \frac{3 \pi}{13} tan \frac{4 \pi}{13} tan \frac{5 \pi}{13} tan \frac{6 \pi}{13} \)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=11162　連結已失效


(2)\( sin1^o \cdot sin3^o \cdot sin5^o \cdot ... \cdot sin85^o \cdot sin87^o \cdot sin89^o \)
(高中數學101　P146，高中數學101修訂版　P147)


4.(1)令\( [\ x ]\ \)表示高斯符號，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{1024} [\ log_2 n ]\ = \)？
(高中數學101　P95，高中數學101　P96)


4.(2)求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{3} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2}{3} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2^2}{3} \Bigg]\;+...+\Bigg[\; \frac{2^{100}}{3} \Bigg]\; \)之值，其中\( [a] \)表示不超過a的最大整數。
(2000TRML個人賽)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52383　連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=32086　連結已失效


4.(3)若\( [x] \)表示不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{96} \Bigg[\; \frac{53n}{97} \Bigg]\;= \)。
(2004TRML團體賽)

初中數學競賽教程P109

中間的1000是不是要改成100?
及解的第一行，n=1,2,3,....100    ，不是10，才對。

想請教\( \displaystyle \Bigg\{\; \frac{23n}{101} \Bigg\}\;+\Bigg\{\; \frac{23(101-n)}{101} \Bigg\}\;=1 \)
與\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{23n}{101} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{23(101-n)}{101} \Bigg]\;=22 \)
是為什麼
謝謝

請教第4題第(2)小題，感謝。

4.
(2)\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{3} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2}{3} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2^2}{3} \Bigg]\;+\ldots+\Bigg[\; \frac{2^{100}}{3} \Bigg]\; \)

4.(2)
參考 興傑老師的解法
https://math.pro/db/thread-1950-1-3.html

感謝。