三角形ABC中，已知AB=AC，D是BC的中點，E在AB上且BE=BD.
以DE為矩形一邊，在三角形ABC內作矩形DEFG，使得F在AD上，若直線CG分別與AB,AD交於P,H，
試證明:AP=BE,PH=CG
首先，可以確定GDEF四點落在內切圓周上
令AP= x，AE=a，EB=b，EG=FD=2r，HF=c，HA=d，O為圓心
則有
PBAPBCCDHADH=1
得到
xa+b−xb2bd2r−c=1 ，
x=(a+b)d4r−2c+d
以及
PEAPEGGOHAOH=1
得到
xa−xr2rdr−c=1 ，
x=ad2r−2c+d
因此
x=(a+b)d−ad4r−2c+d−(2r−2c+d)=2rbd
只要再說明
d=2r 即可:
由
x=ad2r−2c+d=x=2rbd ， 得到
2ar=2br−2bc+bd
再由面積關係得到
(2a+4b)r=2b(2r+d−c) ，
2ar=2bd−2bc
於是
2br−2bc+bd=2ar=2bd−2bc ，
d=2r
因此
AP=x=b=BE
註: 若 H 交在圓外，方法相同，算式只是將 c 改成 -c
本題重點在於利用孟式定理
將 CGHP 四點共線的條件用上 (需用兩次定理)
第2小題 PH=CG 可以利用上面的結果，經由向量推導而得:
PH
=PA+AH=BE+FD=BD+DE+FD=DC+GF+FD=DC+GD=GC
因此 PH=GC
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本帖最後由 Joy091 於 2011-9-11 10:46 PM 編輯 ]
