101中科實中（含計算1）

今天下午去考的，計算題乘著還有印象先寫下來

(1)拋物線：\( y^{2}=4cx \)  ，O為拋物線頂點， 直線L與拋物線交於兩點A、B，且\(\angle AOB=90^\circ\)      ，證明：L必過P(4c,0)   [七分]

(2)過P(2,1)做直線L交拋物線：\(y=\frac{1}{5}x^{2} \)於A、B兩點，且\(\angle AOB=90^\circ\)，求L方程式。[三分]



(1)我是利用參數式，假設\(A(ct^{2},2ct)\)、\(B(cs^{2},2cs)\)，然後用OA垂直OB得到t與s的關係，再用兩點式寫出L的方程式，y=0帶入解出x=4c，得證。

(2)就是利用(1)的結果，將數字代入。


[weiye 於 101.04.08, 18:23 附加上中科實中公布的試題與解答]

題目分配總數：一. 單選題 10 題 二. 填充題 15 題 三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題



如圖，滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} =2012 \)

求  \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} \cdot \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} \cdot \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} \)

編號的字母可能不太一樣

填充 1x

\( a,\, b>0\) (印象中)

\(A=\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab}\), \(B=\sqrt{49+a^{2}-7\sqrt{20}}\), \(C=\sqrt{64+b^{2}-8\cdot\sqrt{3}}b\)求 \(A+B+C\) 的最小值。

註：猜測題目的 \(C\) 打錯了，裡面應該有 \(a\)，改成 \(\sqrt{49+a^{2}-7\cdot\sqrt{2}a}\) 可能是原本正確的題意。

填充 1x
\( f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{44}x^{44}\)，求 \(a_{6}\)。

填充 x (超眼熟的題目，考前一天做100基隆高中，才做到)

\( f(x) \) 是一個 98 次多項式，且滿足 \( f(n) =\frac{1}{n}\), \( n=1,2,3,\ldots, 99 \)，求 \( f(100) \)

填充15
右圖中，\(P\)為三角形\(ABC\)內部一點，已知\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}+\frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}+\frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=2012 \)，試求\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}\times \frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}\times \frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}= \)　　　。
[解答]
假設三角形PBC面積為a,PCA面積為b,PAB面積為c
依題意及三角形相似性質得(b+c)/a +(c+a)/b+(a+b)/c=2012
所求=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)
=[(b+c)/b][(c+a)/c][(a+b)/a]
=(1+c/b)(1+a/c)(1+b/a)
=(1+c/b+a/c+a/b)(1+b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+(c/b)(b/a)+(a/c)(b/a)+(a/b)(b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+c/a+b/c+1
=2+(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=2+2012
=2014

那題多項式f(x),會是求a_44 嗎?
很明顯a_44=1

手殘，打錯，已修正，感謝！

可能可以用生成函數做
不過我用多項式來處理
假設展開後一般項為 [11!/(a!b!c!d!e!)] *(1)^a*(x)^b*(x^2)^c*(x^3)^d*(x^4)^e
且a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6,其中a,b,c,d,e為非負整數.
可分(a,b,c,d,e)=(5,6,0,0,0) ,(6,4,1,0,0) ,(7,2,2,0,0) ,(8,0,3,0,0) ,(7,3,0,1,0) ,(8,1,1,1,0) ,(9,0,0,2,0) ,(8,2,0,0,1),(9,0,1,0,1)共九組
所求係數
=11!/(5!*6!) +11!/(6!*4!) +11!/(7!*2!*2!)+11!/(8!*3!)+11!/(7!*3!)+11!/8!+11!/(9!*2!)+11!/(8!*2!)+11!/9!
=7887

我不會用網頁寫數學式子..所以用貼的..
先恭喜大家了..應該不會0分

可參詳99中壢一招的計算題

[ 本帖最後由 ichiban 於 2012-4-8 01:24 AM 編輯 ]

填充第14題
多項式\(f(x)\)，已知\( deg f(x)=98 \)，\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)\( (k=1,2,3,\ldots,99) \)，試求\( f(100)= \)　　　。
解法：
\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)
\( kf(k)-1=0 \)
令\( F(x)=xf(x)-1 \)
我們已經知道\( F(x) \)為99次多項式且\( F(k)=0 \)，當\( k=1,2,3,\ldots,99 \)
所以\( F(x)=xf(x)-1=a(x-1)(x-2)\ldots (x-99) \)
\( \displaystyle F(0)=-1=a \cdot (-1)99 ! \Rightarrow a=\frac{1}{99} \)
\( \displaystyle F(100)=100f(100)-1=\frac{1}{99!}\cdot 99!=1 \)
\( 100f(100)=2 \)
\( \displaystyle f(100)=\frac{1}{50} \)

9.
設a,b為正實數，\( A=\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{2}ab} \)，\( B=\sqrt{49+a^2-7 \sqrt{2} a} \)，\( C=\sqrt{64+b^2-8 \sqrt{3} b} \)，則\( A+B+C \)之最小值？

\( \forall x>0,y>0 \)，\( \sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{y^2-3y+3}+\sqrt{x^2-\sqrt{3}xy+y^2} \ge \sqrt{6} \)
(99中壢高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371)


14.
f(x)為98次多項式，而\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{k} \)，當\( k=1,2,3,...,99 \)，求f(100)
(奧數教程　高一　第20講構造函數解題)
(100基隆高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108)

「中科實中中部科科第一」，相同字不相鄰有幾種排法？

走20階樓梯，每次只能走2階或是3階，不走第8階，但是要走第12階的走法有幾種？