99東山高中

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本試題題目與參考解答，經 ptt 的 demon 網友同意轉錄. 感謝. ^___^

因小弟重新排版修飾，如有打字錯誤，希望網友不吝告知，感謝.

請問第6題

第 6 題：求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值.



把完全平方展開，然後利用

1. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}100x \cdot C^{99}_{k-1}x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}=100x\times 1^{99}=100x\)

2. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}k^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}\left(k\left(k-1\right)+k\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)

　\(\displaystyle=\sum^{100}_{k=1}k\left(k-1\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)

　\(\displaystyle=\sum^{100}_{k=2}100\cdot99\cdot x^2 C^{98}_{k-2} x^{k-2}\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}100\cdot x C^{99}_{k-1} x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}\)

　\(\displaystyle=100\cdot99 x^2\times 1^{98}+100x\times 1^{99}=9900x^2+100x\)

可得所求為 \(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{100}\cdot\left(100x\right)+\left(\frac{1}{100}\right)^2\cdot\left(9900x^2+100x\right)=\frac{399x^2+x}{100}.\)









註：如果對於中間的變化手法不熟悉，也可以參看看下面有相似手法的兩題：

1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-62-1-5.html

2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-401-1-5.html

3.
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322

可以請問板上的老師
第五題嗎?
我好像是用比較麻煩的方式處理
我令z2=a+bi z1=(a+1)+(b-2)i
然後再去處理

可是也一直沒有解出來

請板上老師賜教

第 5 題：

設 \(z_1,\, z_2\) 為複數，滿足 \(\left|z_1\right|=\left|z_2\right|\)，且 \(z_1-z_2=1-2i\)，求 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}\) 之值.


解答：

令 \(z_1=r\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right),\; z_2=r\left(\cos\beta+i\sin\beta\right)\)，則

由 \(z_1-z_2=1-2i\)，可得

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}r\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)&=&1\\r\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)&=&-2\end{array}\right.\)

將兩式相除，再用和差化積，可得 \(\displaystyle\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\) 之值，

再利用切表弦公式（也有人稱萬能公式），可得 \(\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 與 \(\sin\left(\alpha+\beta\right)\) 之值，

故，可得 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}=\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\right|\cdot\left| z_2\right|}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right) \) 之值.

謝謝瑋岳老師
我懂了
看來我的方法太土法煉鋼了
感謝老師!

3.試求正整數n使得下式成立\( \displaystyle tan^{-1}\frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{4}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4} \)。
(2008AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2008)


4.圓\( C_1 \)、\( C_2 \)、\( C_3 \)的圓心分別為\( (0,0) \)、\( (12,0) \)、\( (24,0) \)且其半徑分別為1、2、4，直線\( L_1 \)是\( C_1 \)與\( C_2 \)的內公切線，其斜率為正，直線\( L_2 \)是圓\( C_2 \)與\( C_3 \)的內公切線，其斜率為負，設直線\( L_1 \)、\( L_2 \)交於\( (x,y) \)，若\( x=p-q \sqrt{r} \)，其中p、q、r為正整數且r不能被任何質數的平方整除，求\( p+q+r \)？
(2006AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2006)


6.\( \displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^{100} (x- \frac{k}{100})^2 C_k^{100} x^k (1-x)^{100-k} \)，已知P(x)為二次多項式，求P(x)？
(98台大資工申請入學)
將原本99東山高中這題改為相減，答案\( \displaystyle \frac{x}{100}-\frac{x^2}{100} \)

第 8 題

\(P\left(ab-cd \mbox{ 是偶數}\Bigg|a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{n\left(ab-cd \mbox{ 是偶數且 }a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)}{n\left(a,b,c,d\mbox{ 至少有一奇數}\right)}\)

\(\displaystyle=\frac{n\left(ab \mbox{ 是偶且 }cd\mbox{ 是偶}\right)+n\left(ab\mbox{ 是奇且 }cd\mbox{ 是奇}\right)-n\left(a,b,c,d \mbox{ 都是偶數}\right)}{n(a,b,c,d至少有一奇數)}\)

\(\displaystyle=\frac{ \left(6\cdot 6-3\cdot3\right)\left(6\cdot 6-3\cdot 3\right)+3\cdot3\cdot3\cdot3-3\cdot3\cdot3\cdot3}{6^4-3^4}\)

\(\displaystyle=\frac{3}{5}\)

為什麼第9題我想到頭腦壞掉,都想不出來,
請大師指點迷津,3Q