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瑋岳
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小 發表於 2013-4-27 20:36 只看該作者
引用:原帖由 skuld 於 2013-4-27 08:08 PM 發表 
還有一題是：a、b、c為自然數且1/a + 1/b +1/c =1 求a、b、c的解想請問這題要怎麼解？
我這題是用湊的，只湊到3組解(分別是3,3,3、4,4,2、6,3,2)，但不知道怎麼列式&是否還有其他的解...
謝謝！ ... 不失一般性，可假設 a bc1，則 0 a1 b1c11
a1+b1+c1c1+c1+c1
 1c3
c3
c=1, 2, or 3
case 1: 若 c=1 則 a1+b1=0 不合
case 2: 若 c=2 則 a1+b1=21
a1+b1b1+b1
21b2
b4
且由 bc，可知 b=3 or 4
若 b=3，則 a=6
若 b=4，則 a=4
case 3: 若 c=3 則 \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}
\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq\frac{1}{b}+\frac{1}{b}
\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{3}\leq\frac{2}{b}
\Rightarrow b\leq 3
且由 b\geq c，可知 b=3，因此 a=3
因此，滿足題意的有序數組 (a,b,c) 只有 (3,3,3), (2,3,6), (2,6,3), (3,2,6), (3,6,2), (6,2,3), (6,3,2), (2,4,4),(4,2,4), 或 (4,4,2)
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