102新化高中

今天考完馬上放考題
不錯的學校!!!
請各位享用
(PS.7月21日有修正填充1答案)

想請教第一部分 2和6題 謝謝

3.
設空間中\( P(x,y,z) \)滿足不等式\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{0 \le x+y \le 2 \cr 0 \le y+z \le 2 \cr 0 \le x+z \le 2} \)，此P點之點集合形成一平行六面體，求此平行六面體體積為？
[解答]
\( x+y=0,y+z=0,z+x=0 \)這三個平面相交於原點\( O=(0,0,0) \)

平面\( x+y=0 \)和\( y+z=0 \)交線的方向向量為\( OA=(1,-1,1) \)
點\( A(1,-1,1) \)會落在平面\( z+x=2 \)上
平面\( y+z=0 \)和\( z+x=0 \)交線的方向向量為\( OB=(1,1,-1) \)
點\( B(1,1,-1) \)會落在平面\( x+y=2 \)上
平面\( z+x=0 \)和\( x+y=0 \)交線的方向向量為\( OC=(-1,1,1) \)
點\( C(-1,1,1) \)會落在平面\( y+z=2 \)上

此平行六面體體積為\( \displaystyle \Bigg\Vert\; \matrix{1 & -1 & 1 \cr 1 & 1 & -1 \cr -1 & 1 & 1} \Bigg\Vert\;=4 \)



雖然看起來很像立方體，但實際上卻不是
你可以下載附件並開啟SketchUp觀察形狀

空間中 \(\left\{\begin{array}{ccc}  0&\le& x+2y &\le& 4\\  -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.\)所圍成的平行六面體體積是多少？
(99文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1993)

另一種方法 : 變數變換
令u=x+y, v=y+z, w=x+z
∫∫∫dudvdw=2∫∫∫dxdydz
2是(x,y,z)→(u,v,w)的jacobian matrix 的行列式的絕對值

2. 課本有

6.
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，其中\(a,b,c\)為整數。若\(f(1)=0,50<f(7)<60,70<f(8)<80\)，且存在整數\(k\)使得\(5000k<f(100)<5000(k+1)\)，則\(k=\)　　　。
[解答]
由題意知
a+b+c=0
50<49a+7b+c<60
70<64a+8b+c<80
整理之後得
50<48a+6b<60
70<63a+7b<80
由待定係數法可知 所求的f(100)=10000a+100b+c=9999a+99b= -1518 [  49a+7b ]+9207 / 7 [ 63a+7b ]
計算有點繁雜
我不知道還有沒有更妙的方法

50<48a+6b<60
70<63a+7b<80
所以50/6<8a+b<10  ----> 8a+b=9
10<9a+b<80/7   ------>  9a+b=11
因為a與b都是整數
然後解聯立 a=2, b=-7,c=5

第7題(看不太懂)  ....已知樣本中未患阿茲海默症  ,,,,真正未患阿茲海默症  ??
謝謝

想請教各位先進第一大題的第10題以及第二大題的第4題，謝謝

7.
某實驗室欲評估血液偵測阿茲海默症技術的誤判率(即偵測錯誤的機率)。共有2010人接受此血液偵測技術實驗，實驗前已知樣本中有1970人未患阿茲海默症。實驗後，血液偵測判斷為未患阿茲海默症者有1905人，其中真正未患阿茲海默症有1900人。試問此血液偵測技術的誤判率為　　　。(化成最簡分數)
[解答]
誤判有包括兩種，一種是"未患阿茲海默症"卻診斷出"患阿茲海默症"

另一種是"患阿茲海默症"卻診斷出"未患阿茲海默症"

由題目，第一種情況的人有1970-1900=70人

第二種情況的人有1905-1900=5

所以誤判率等於(70+5)/2010

想請教老師 一 、2. 的第五個選項