104六家高中一題

https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1435770154.A.084.html
草原上有個柵欄，柵欄所圍範圍是\( x^2+y^2=16 \)，欄外有一頭牛，牛被栓在柵欄上的一定點A，繩長6單位，請問牛所能移動的最大面積為？(不考慮繩結誤差，將牛視為點)

設\( ∠AOB=\theta \)，圓參數式\( B(4cos \theta,4sin \theta) \)，\( AB \)弧長\( 4 \theta \)，\( \overline{BC}=6-4 \theta \)
又\( \overline{BC} \)為圓的切線，\( ∠OBC=90^{\circ} \)，所以\( ∠BCD=\theta \)
\( \overline{BD}=(6-4 \theta)sin \theta \)，\( \overline{CD}=(6-4 \theta)cos \theta \)
得到\( C(4cos \theta-(6-4 \theta)sin \theta,4sin \theta+(6-4 \theta)cos \theta) \)，\( \displaystyle 0\le \theta \le \frac{3}{2} \)

準備出門，看有沒有人可以把參數式的面積積出來

104.7.7補充
其他牛吃草問題
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.grazing.html

\(\int_{\frac{3}{2}}^{0}{\left[ 4\sin \theta +\left( 6-4\theta  \right)\cos \theta  \right]}d\left( 4\cos \theta -\left( 6-4\theta  \right)\sin \theta  \right)-\int_{\frac{3}{2}}^{0}{4\sin \theta d\left( 4\cos \theta  \right)=9}\)

所求\(=9\times 2+\frac{1}{2}\times {{6}^{2}}\pi =18\pi +18\)

(2015.7.2 11:39 PM 更新)

先謝謝樓下 寸絲老師的說明。我把這題的個人想法改寫得簡潔些:

先考慮一個問題: 區間 [ 0, a ]，將之 n 等分，考慮以下各等分點 (a/n，2a/n，...，na/n) 之 "平方的算數平均"，當 n → ∞，該值 = a² /3。除了用極限算，從大家熟悉的: 圓錐體積 = (1/3)*(同底同高之圓柱體積)，亦可體會出這個事實。

以下借用 bugmens 老師的圖:

要考慮的是第一象限處，x < 4 部分的所求面積。先設想柵欄是個正多邊形，A 是一個頂點。當牛從 (4, 6) 處開始，逆時針拉緊繩子走，掃過的面積為若干個扇形面積和 (扇形半徑依次減少一個邊長)。 現在柵欄改為圓形 (正多邊形的極致)，由於圓的曲率各處相等，上述的面積成為
"半徑由 6 (依旋轉角) 等速遞減至 0 的無窮多個小扇形面積和";  又扇形面積 = r²θ /2，我們將連續變化的 r² 以其平均 (6² /3) 代之 (依上文)。而 r 由 6 至 0，總旋轉角 = (3/2) 弧度。

因此，第一象限處，x < 4 部分的所求面積 = Σ r²θ/2 = (6²/3)*(3/2)*(1/2) = 9。

由是，牛所能移動的最大面積 = 18+18π 。

即使繩子再長些，使牛可至第二象限，作法亦同。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-7-2 11:40 PM 編輯 ]

可以用變數代換，積分來寫這個過程

\( x\leq 4, y \geq 0  \) 的部分，可寫成

\( (x,y) = (4\cos \theta - k \sin \theta, 4\sin \theta + k \cos \theta ), 0 \leq \theta \leq \frac32, 0\leq k \leq 6- 4\theta \)
固定 \( \theta \) 值的時候，\( (4\cos\theta, 4\sin\theta ) \) 為 \( x^2 +y^2 =4^2 \) 上的一點，改變 \( k \) 的值，由 \( 0\sim 6-4\theta \) 為切線段 (bugmens 原圖)

\( (x,y)_{\theta}=(-4\sin\theta -k\cos\theta,4\cos\theta -k\sin\theta) \)
\( (x,y)_{k}=(-\sin\theta,\cos\theta) \)

\( |J|=| \begin{vmatrix}-k\cos\theta & -k\sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{vmatrix} |=k \)

故 \( x\leq 4, y\geq 0 \) 中，牛所能移動到的區域面積為

\( \int\int_A dxdy = \int_{0}^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{6-4\theta}kdkd\theta=\int_{0}^{\frac{3}{2}}\frac{1}{2}(6-4\theta)^{2}d\theta=9 \)
( 上行的計算，就是 cefepime 老師的 = Σ(BC)*(BC/2)*ψ = (6²/3)*(1/2)*(3/2) = 9 )

故所有可移動面積為 \( 9\times 2 + \frac12 6^2\pi =18+18\pi \)

謝謝 寸絲老師的說明，假以時日希望能看懂。

我在 3 樓的想法，可簡述為:

把第一象限， x < 4 部分的面積，視為"無窮多個半徑由 6 (依旋轉角)等速遞減至 0 的小扇形的面積和"。又，扇形面積 = r²θ/2，可用 " 平均 r² " = 6²/3 代替 r²，"總旋轉角"代替 θ。這樣思考，計算答案就不難了。

應該是感謝 cefepime 絕妙的想法才是

如果還記得直角坐標轉極坐標 \(dxdy = rdrd\theta \) 的話

而  #4 的地方，我只是利用 k 表示了和 r 垂直的方向而已，

然後就像是極坐標轉換一樣的積分！