99南港高工

題目如附件

2.一個質點由數線上的原點出發，假設該質點每次運動只能右移一步或左移一步
(一步為一單位的距離)，沿著數線的正向以進4步再退3步的方式運動。以xn表示第n步質點在數線上的座標，例如x1=1，x2=2，x5=3，求x2010。
[解答]
走了7步後位置會往右移一步，2010=7*277+1，最後位置在288


12.有一個100列的數表，第一列為1,2,3,...,100；第二列為3,5,7,...,199；第三列為8,12,16,...,396；第四列為20,28,36,...,788；
(每個數都是肩膀上的兩個數的和)，求最後一列的數的值。

１　２　３　４　５　６　…　99　100
　３　５　７　９　11　………　199
　　８　12　16　20　………
　　　20　28　36　………
　　　　　………………
　　　　　　…………
　　　　　　　ａ
(說明 一個倒三角形,下一行的數字為上一行相鄰兩數的和)求a。
(98北一女，https://math.pro/db/thread-784-1-2.html)

１　２　３　４　…　2006　　2007　　2008　　2009
　３　５　７　　…　　　4013　　4015　　4017
　　８　12　　　…　　　　　8028　　8032
　　　20　　　　…　　　　　　　16060
　　　　…　　　…　　　　　　　…
　　　　　　　　Ｋ
已知一個排列如三角形狀的數列如上所示：其中第一列各數依次為1, 2, 3, … , 2009。
從第二列起，每個數分別為上一列的左與右兩數的和。求此三角形最下方的數字K=?
(建中通訊解題第72期)


15.設[x]表示不大於x的最大整數，求21+52010 除以7的餘數。
[解答]
令f(n)=21+5n+21−5n(mod7) 
f(n)=21+5+21−5f(n−1)−21+521−5f(n−2)(mod7) 
f(n)=f(n−1)+f(n−2)(mod7)
f(1)=1，f(2)=3
每16個一循環1,3,4,0,4,4,1,5,6,4,3,0,3,3,6,2
f(2010)=f(10)=4，但21−520101 
故餘數應為3

試求cot200312+tan200312除以9的餘數
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=17865　(連結已失效)
題目已經被原PO刪除了在此補上

想請教4,5,9,11,12..........
@@多謝

第 4 題

提示：L:x+y−4+m2x+y−7=0  直線 L 恆通過定點 x+y=42x+y=7xy=31 




第 9 題

P(丟兩粒骰子，其和為9)=436

所求=C244363614


Note: 先四顆中選出兩顆，使其和為 9，另外的兩顆除了其合不為 9 之外，也不能跟最初選的兩顆加起來為 9

下圖是其中一例，當最先選出兩粒為 45 的情況，圖中紅色處即是後選的兩粒不可以選擇的情況。當然如果一開始選的兩粒是 36，會不能選的情況個數還是一樣的。






第 12 題

123456100
357911199
8121620396
　　　　　　：
先觀察共有 100 列，且每列都是等差數列，

將每列的數列都倒著寫回來，即為
10099989796951
1991971951931913
3963923883848
　　　　　　：

然後將這兩的倒三角形的對應位置加起來，形成新的 100 列的數列，
第一列是 101101101101 共 100 項
第二列是 202202202202 共 99 項
第三列是 404404404404 共 98 項
　　　：
第100列是 101299 共 1 項

所以，題目所求為 =2101299=101298

第 11 題：將自然數 n 接在任何一個自然數的右邊，都能被 n 整除（例如將 2 接在任何自然數的右邊，均可被 2 整除），則稱 n 為魔術數。求小於 300 的魔術數的個數。


解答：

case i: 先找一位數的 n

np10+nnp10pN 

n10n25n 有 (1+1)(1+1)−1=3 個。（正因數扣掉 10 之後的個數。）


case ii: 再找二位數的 n

\displaystyle n\Big|\left(p\times 100+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 100, \,\forall p\in\mathbb{N}

\displaystyle \Rightarrow n\Big|100 \Rightarrow n\Big|2^2\cdot5^2 \Rightarrow n 有 (2+1)(2+1)-5=4  個。（正因數扣掉 4,100 與 case i 一位數之後的個數。）


case ii: 再找三位數的 n

\displaystyle n\Big|\left(p\times 1000+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 1000, \,\forall p\in\mathbb{N}

\displaystyle \Rightarrow n\Big|1000 \Rightarrow n\Big|2^3\cdot5^3

且因為 n<300，所以 n 只有 100,125,200,250，共 4 個。


故，題目所求的數字共有 3+4+4=11 個。

第5題
十進位制的三位數字[abc] 中，a，b，c 成等差數列，求這種三位數的最大
質因數。(十進位制的三位數[abc] = a×10^2 + b×10^1 + c )

解：
首先[abc]必為合數(因a+b+c=3b)
令a,b,c公差d(d為整數)，
(1) 欲得[abc]的最大質因數，故a先試最大的9
=> c=a+2d為奇數
[abc]可能為999(37), 987(47), 975(13), 963(107), 951(317)　(括號內為該三位數的最大質因數)
(2) 若a為小於或等於8的偶數, 則c=a+2d必為偶數, 得[abc]是6的倍數, 故其最大質因數 <= [899/6]
(3) 若a為小於或等於7的奇數, 因[abc]是3的倍數, 故其最大質因數 <= [799/3]
由上知[abc]最大質因數為317

想請教第6題,謝謝

第 6 題

0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720

7! 是四位數，必定爆表！

所以，x,y,z 三數都不會是 7,8,9 的任一個

又因為 6!=720，所以如果右邊有 6!，

加起來之後，左邊開頭就有 7 以上，

所以也 x,y,z 也不可能出現六～



因為 x!+y!+z! 加起來是三位數，

且 1!,2!,3!,4! 可重複使用地任取三個加起來都不會是三位數，

所以右邊必有 5!

如果右邊只有一個 5! 的話，

則 \overline{xyz} 的首位數字 x=1

然後，y=5 或 z=5



再來窮舉就好了！

1!+1!+5!=122 不合

1!+2!+5!=123 不合

1!+3!+5!=127 不合

1!+4!+5!=145\Rightarrow x=1,y=4,z=5.


如果右邊恰有兩個 5!\Rightarrow x=2\Rightarrow 5!+5!+2!=242 不合


如果右邊恰有三個 5!\Rightarrow 5!+5!+5!=360 不合



故， x=1,y=4,z=5 且 x+y+z=10.

不好意思我感覺第6題應該是 y=4 z= 5,

想請教第13題,謝謝