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請教ARML四題

皮皮

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1^# 大中小發表於 2012-6-13 21:59 只看該作者

請教ARML四題

題目在附件中，這四題想破腦袋都想不出來
希望版上的前輩們能給小弟指點一下迷津，謝謝
PS.因為是抄在筆記本上的，所以沒有年份，請見諒

1.
設數列

an

定義如下：a0=1，an+1=a2n1+an(n=0

1

2

)，令Sn=11+a1+11+a2+

+11+an，試證：n−1

Sn

n。

2.
滿足

n+1k=1k5kCkn

62003 的最小正整數n=？
ANS：2007

3.
令S(n)表示正整數n減去n的每一個數字和，例如：S(123)=123−(1+2+3)=117，並定義S1(n)=S(n)，Sk+1(n)=S(Sk(n))，則使得S2002(n)=0的最大整數n為？
ANS：34689

4.
設m為固定的整數且m

2，試求：滿足方程式

xm

=

xm−1

正整數解的個數
ANS：2m2−m−2

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老王

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2^# 大中小發表於 2012-6-15 18:15 只看該作者

第一題
Sn=11+a1+11+a2+

+11+an
=(1−a11+a1)+(1−a21+a2)+

+(1−an1+an)
=n−(a11+a1+a21+a2+

+an1+an)

所以相當於證明
0

a11+a1+a21+a2+

+an1+an

1

an−an+1=an−a2n1+an=an1+an

所以
a11+a1+a21+a2+

+an1+an=(a1−a2)+(a2−a3)+

+(an−an+1)=1−an+1

顯然 an+1

0
又 a2=21

1 ，且 an+1=an

an1+an

an
所以 an

1 當 n

1
故得證

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皮皮

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3^# 大中小發表於 2012-6-15 20:28 只看該作者

非常感謝，我思考的點完全錯了，難怪想都想不出來
一開始是想用裂項相消，試了一堆方法湊不出來
後來想說用數學歸納法，有感覺，但是就是不大對盡

老王老師這雖然也是屬於裂項相消的方法，不過我還真的沒想到這
受教了

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老王

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4^# 大中小發表於 2012-6-15 20:41 只看該作者

回復 7# 皮皮的帖子

我是列出前面4項看出來的，
第二題還沒想法，
第三題，這答案應該是9的倍數才對吧，可以先檢查你的答案嗎??

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皮皮

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5^# 大中小發表於 2012-6-15 20:59 只看該作者

說來慚愧，第二題，第三題我幾乎沒有什麼頭緒
列出許多項，但仍然看不出其規律

但您一說9的倍數，我想我應該有了頭緒了
是利用3的倍數和9的倍數和亦為3的倍數和9的倍數的性質
容我再試著做做看

另外，答案方面是34689無誤
剛剛翻了一下，這是2002年ARML第二階段的第8題
官方答案確實如此

[ 本帖最後由皮皮於 2012-6-15 09:08 PM 編輯 ]

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老王

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6^# 大中小發表於 2012-6-15 21:58 只看該作者

回復 9# 皮皮的帖子

啊，我沒有想仔細，不一定要最後一次最大。
還要再思考。

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皮皮

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7^# 大中小發表於 2012-6-15 22:12 只看該作者

拿答案34689來說

第一次的數和 =30

往後依序列下去是30,27,18,18,27,27,18,18,18,27,18,18,18,18,27,18,18,18,18,18,18,18,18,18,9,18,18,18,18,18,9,18,
27,27,18,18,27,27,18,...

好像沒有規律可言，不過也不排除其中可能有算錯

只知道27,9出現很少次，18出現很多次這個事實而已

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皮皮

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8^# 大中小發表於 2012-6-15 22:15 只看該作者

老王老師，辛苦您了

先放著吧! 休息要緊，剛剛解題解太久我也都怪怪的

有時候放鬆一下搞不好就靈光一閃想出來了

您肯解這道題目我已經很感激了，我也先去休息了

[ 本帖最後由皮皮於 2012-6-15 10:17 PM 編輯 ]

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老王

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9^# 大中小發表於 2012-6-16 09:50 只看該作者

解題是一種樂趣，不管有沒有解出來；只是今年解得題目太多了，就像好吃的東西一直吃，對我來說也是會膩的，所以才會去尋找重新出發的動力。
(以上題外話)

第四題
假設 [xm]=[xm−1]=n
那麼就有 \displaystyle n \le \frac{x}{m} < n+1 以及 \displaystyle n \le \frac{x}{m-1} < n+1
進一步 \displaystyle mn \le x <m(n+1) 以及 \displaystyle n(m-1) \le x <(m-1)n+(m-1)
以上兩個式子都須滿足，所以必須找尋適當的 n 使得 \displaystyle mn \le x <(m-1)n+(m-1) 有解。
亦即要滿足條件 \displaystyle mn < (m-1)n+(m-1), \Longrightarrow n < m-1
因為要正整數解，所以知道 \displaystyle n=0,1,2, \cdots m-2
此時 \displaystyle x=mn,mn+1,mn+2, \cdots mn-n+(m-1)-1
對於 n=0 ，因為要正整數解，所以 x 的解會少一個，有 m-2 個
對於其他的 n ，則無此限制， x 的解有 (m-1)-n 個，
所以共有
\displaystyle (m-2)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +1=(m-1)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +2=\frac{(m+1)(m-2)}{2}=\frac{m^2-m-2}{2}

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