滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎？

克勞棣

發私訊
加為好友
目前離線

1^# 大中小發表於 2021-9-27 20:44 只看該作者

滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎？

a,b,c是某三角形的三邊長，且abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)，則該三角形必然是正三角形嗎？
(正三角形顯然滿足這個等式，但滿足這個等式者必然是正三角形嗎？)

TOP

satsuki931000

satsuki

發私訊
加為好友
目前離線

2^# 大中小發表於 2021-9-27 21:21 只看該作者

令A=b+c−a，B=a+c−b

C=a+b−c
則原式可以改寫成以下等式

8(A+B)(B+C)(C+A)=ABC
由算幾不等式得知2A+B

AB
同理: 2B+C

BC ， 2C+A

CA
三式相乘即得8(A+B)(B+C)(C+A)

ABC
等號成立在A=B=C之時，進一步還原得a=b=c

所以a

c若滿足題目等式，則必為正三角形

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-9-27 21:24 編輯 ]

TOP

克勞棣

發私訊
加為好友
目前離線

3^# 大中小發表於 2021-9-27 22:54 只看該作者

回復 2# satsuki931000 的帖子

謝謝！這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的，所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。

TOP

satsuki931000

satsuki

發私訊
加為好友
目前離線

4^# 大中小發表於 2021-9-27 23:00 只看該作者

引用:

原帖由 克勞棣 於 2021-9-27 22:54 發表
謝謝！這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的，所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。

想請問是哪個充分必要條件

TOP

克勞棣

發私訊
加為好友
目前離線

5^# 大中小發表於 2021-9-27 23:48 只看該作者

回復 4# satsuki931000 的帖子

「外接圓半徑=2*內切圓半徑」

設R是此三角形的外接圓半徑，r是內切圓半徑，s是半周長，A是面積，則
A=abc/(4R) → 左式=4RA
A=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) → 右式=8A^2/s
因此4RA=8A^2/s → R=2A/s=2(rs)/s=2r
根據歐拉定理「R≧2r，等號成立於三角形是正三角形時」，知其為正三角形

TOP

‹‹ 上一主題 | 下一主題 ››