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瑋岳
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6#
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小 發表於 2012-2-28 15:29 只看該作者
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第 7 題：
將分數 \displaystyle \frac{n}{120}約分為最簡分數，其中 n為小於120的正整數。請問共有多少個不同值的最簡分數，使得它的分子為一位數？
[解答]
120=2^3\cdot3\cdot5
一、若約到最簡分數後分子為 1，則
n=2^a\cdot3^b\cdot5^c，
其中 a=0,1,2,3， b=0,1， c=0,1
但 (a,b,c)=(3,1,1) 時， \displaystyle \frac{n}{120}=1 不是分數，不合，
有 4\times2\times2-1=15 種可能。
二、若約到最簡分數後分子為 2，則
n=2^a\cdot3^b\cdot5^c，
其中 a=4， b=0,1， c=0,1
但是 (a,b,c)=(4,1,1) 會讓 n>120 不合
有 1\times2\times2-1=3 種可能。
三、若約到最簡分數後分子為 3，則
n=2^a\cdot3^b\cdot5^c，
其中 a=0,1,2,3， b=2， c=0,1
但是 (a,b,c)=(3,2,1),(2,2,1) 會讓 n>120 不合
有 4\times1\times2-2=6 種可能。
四、若約到最簡分數後分子為 4，則
n=2^a\cdot3^b\cdot5^c，
其中 a=5， b=0,1， c=0,1
但是 (a,b,c)=(5,1,1),(5,0,1) 會讓 n>120 不合
有 1\times2\times2-2=2 種可能。
五、若約到最簡分數後分子為 5，則
n=25\times1,25\times2,25\times3, 或 25\times4
有 4 種可能。
六、若約到最簡分數後分子為 6，則
n\geq2^4\times3^2=144 不可能，此與 n\leq120 相矛盾。
七、若約到最簡分數後分子為 7，則
n=7\times 2^a\cdot3^b\cdot5^c，
其中 a=0,1,2,3， b=0,1， c=0,1
但是 (a,b,c)=(3,1,1),(2,1,1),(1,1,1),(3,0,1),(3,1,0),(2,0,1) 會讓 n>120 不合
有 4\times2\times2-6=10 種可能。
八、若約到最簡分數後分子為 8，則
n=2^6，有 1 種可能。
九、若約到最簡分數後分子為 9，則
n=27\times1,27\times2,27\times4，有 3 種可能。
以上共 15+3+6+2+4+0+10+1+3=44 種。
不知道有沒有碰巧多列或漏列的呢？有勞大家了？
不知道除了條列之外，有沒有更好的做法。感謝。 
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