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1。
已知兩向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)，若\(|\;\vec{a}|\;=4\)，\(|\;\vec{b}|\;=2\)，\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\vec{a}+\vec{b}\)和\(\vec{a}-\vec{b}\)所決定的平行四邊形面積為 。
[解答]
兩向量內積值為16-4=12
長度為根號28和根號12
夾角cos值為根號(3/7)，sin值為2/根號7
所以面積為8根號3
2。
已知直角\(\Delta ABC\)其三邊長分別為\(\overline{AC}=6\)，\(\overline{BC}=8\)，\(\overline{AB}=10\)，設\(P\)為\(\Delta ABC\)內部一點，且\(P\)點到\(\overline{AC}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{AB}\)的距離分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)，求\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)的最大值為 。
[解答]
利用(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2
因面積公式可之10x+8y+6z=48
最大值為：根號[48*(1/10+1/8+1/6)]=根號(94/5)
3。
已知三次多項式\(f(x)\)，若\(f(-2)=-1\)，\(f(-1)=2\)，\(f(1)=-4\)，\(f(2)=-1\)，求\(f(3)=\) 。
[解答]
f(x)=(ax+b)(x-2)(x+2)-1
x=1和-1代入可得a=1，b=0
f(3)=14
5。
\(x\in R\)，則\(\displaystyle f(x)=\frac{sin x cos x}{1+sin x+cos x}\)的最大值為 。
[解答]
f(x)=1-1/(1+sinx*cosx)微分
f'(x)=(cos^2 x-sin^2 x)/(1+sinx*cosx)^2=0
x=pi/4和3pi/4，最大值為1/3
6。
若三角形的三邊長分別為\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{10}\)、\(\sqrt{13}\)，則其面積為 。
[解答]
根號5和根號10夾角cos值為1/5根號2
所以面積為3.5
7。設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式為\(\cases{a_1=1\cr a_n=a_{n-1}+(2n-1),n\ge 2}\)，則一般項\(a_n\)可整理成 。
[解答]
an-a(n-1)=2n-1，n=1也成立
所以an=2(1+2+.......+n)-n=n^2
8。
設\(N\)為正整數，使\((x+y+z+u+1)^N\)的展開式中，合併同類項後同時含有\(x\)、\(y\)、\(z\)、\(u\)四個數正整數乘冪的恰好有1001項，則\(N=\) 。
[解答]
x^a*y^b*z^c*z^d*1^e
a+b+c+d+e=n
5HN=CN+4取N=1001=7*13*11
整理求出N=10
不用解四次方程式，因為N為正整數
9。
甲從\(\{\;1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}\;\)中任選3個相異數字，將它們由大到小排成一個三位數；乙從\(\{\;1,2,3,4,5,6,7,8 \}\;\)中任選3個相異數字，也將它們由大到小排成一個三位數。求甲所排的數比乙所排的數大的機率為 。
[解答]
若甲取了9，甲>乙，有C8取2*C8取3=28*56種
不取9，等於甲乙從56個數字中任取兩個有1540種
P=37/56
11。
圖0、1、2、3分別包含1、5、13、25個小正方形，若依此規則排列下去，則圖100中有 個小正方形。
[解答]
an=1+2^2+.....+(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
13。
\(ABCD-EFGH\)是一個邊長為5的正方體，已知\(\overline{GP}=4\)，\(\overline{GQ}=\overline{GR}=2\)，求\(A\)點到平面\(PQR\)的最短距離為 。
[解答]
令座標最快，pqr在2x+y+2z=21，距離為7
14。
甲袋中有1白球1紅球，乙袋中有1白球。今從甲袋取1球放入乙袋，再從乙袋取1球放入甲袋，完成此動作稱為一局。若每球被取到的機會均等，求第三局結束時，甲袋有1白球1紅球的機率為 。
[解答]
pn=3/4*pn-1+1/2*(1-pn-1)
答案為43/64，算考古題
15。
設\(A=\left[\matrix{8&-6\cr9&-7} \right]\)，\(P=\left[\matrix{2&1\cr3&1} \right]\)，若\(B\)為二階方陣，且\(AP=PB\)，則(1)\(B=\) (2)\(A^7=\) 。
[解答]
B=P^(-1)*AP
其中B^N成簡單規律，可以利用A^7+PB^7P^(-1)求出A^7
6和10不會寫，12題目不完整
