104嘉義高中科學班

請教第12、13、14、18、20，感恩。

先來兩題
第 12 題
正方形\(ABCD\)的邊長為1，\(E\)是\(\overline{CD}\)上的一點，\(\overline{AE}\)的中垂線\(\overline{FG}\)分別與\(\overline{AD}\)、\(\overline{AE}\)、\(\overline{BC}\)交於\(F\)、\(H\)、\(K\)，並交\(\overline{AB}\)的延長線於點\(G\)。已知\(2\overline{HK}=9\overline{FH}\)，求\(\overline{DE}\)的長。
[解答]
過 H 作 MN 平行 AD，交 AB 於 M，交 DC 於 N
DN：CN = 2：9
DN = 2/11
△AMH 和 △ENH 全等
EN = AM = DN = 2/11
DE = 4/11

第 18 題
在某一次競賽中，共有37位參賽者，假設競賽結果每一位參賽者獲得的分數都是非負的整數。已知所有參賽者的總得分數為150分，且任意17位參賽者的得分總和至少45分，試問參賽者可能得到的最高分數是幾分？
[解答]
所有人的分數由小至大排成一列
由於第 37 人的分數要最高，故前 17 人的總分 = 45
45/17 = 2 ... 11
第 17 人給 3 分，然後第 18 ~ 36 人也給 3 分
所求 = 150 - 45 - 3 * (36 - 18 + 1) = 48

13.
在歐洲哥德式建築的教堂裡，我們發現一個窗戶的造型如圖(五)所示，圖中\(AB\)、\(AC\)分別是以\(C\)點與\(B\)點為圓心，以\(\overline{BC}\)長20為半徑所畫出來的圓弧，半圓\(O_1\)與半圓\(O_2\)的半徑皆為5，又圓\(O_3\)是一個同時和\(AB\)、\(AC\)、半圓\(O_1\)與半圓\(O_2\)皆相切的圓，試求圓\(O_3\)的半徑長。
[解答]
令O3半徑為r，做AO3交BC於K。
我們有，BO3=(20-r)、O1O3=5+r
(O3K)^2=(20-r)^2-10^2=(5+r)^2-5^2，解得r=6

14.請看下邊piano的解說，我搞錯了。

20.
如圖(八)，在銳角\(\Delta ABC\)中，\(\overline{BC}＝6\sqrt{3}\)，\(∠A＝60^{\circ}\)，\(D\)是\(\overline{BC}\)的中點，\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心。若\(B\)、\(C\)為兩定點，試求當\(A\)點移動時，\(\overline{GD}\)長的最大可能範圍。
[解答]
題目等價於何時AD會最長?、何時AD會最短?
易知AB=AC時會最長
因此最大值為3
且知當角ABC越大時(或角ACB)，AD會越短，但有限制為銳角三角形
因此當角ABC=90時會出現極值，最小值為=根號7
根號7<AD<=3

14.易知四邊形GBEJ的面積為GKJ的兩倍，且ABEF的面積為ABE+BEF>>這段還是想不到他如何觀察

20.易知AB=AC時會最長、且知當角ABC越大時(或角ACB)，AD會越短>>請問有較為明確說明或證明嗎?

易知的部分仍找不到觀察點，再煩指教，感謝。

第20題
幫您畫張圖，其實就是樞紐定理


[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-3-16 01:06 PM 編輯 ]

第14題
如圖(六)所示，\(ABCDEF\)為凸六邊形，\(G\)、\(H\)、\(I\)、\(J\)、\(K\)分別為\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{DE}\)、\(\overline{EF}\)、\(\overline{BE}\)的中點，\(\overline{KP}⊥\overline{GJ}\)，\(\overline{KQ}⊥\overline{HI}\)。若\(\overline{KP}=15\)，\(\overline{GJ}=24\)，\(\overline{KQ}=12\)，\(\overline{HI}=20\)，求六邊形\(ABCDEF\)的面積。
[解答]
取 AF 中點 M
易知平行四邊形 GKJM = (1/2)ABEF
ABEF = 2GKJM = 4△GKJ = 720
同理 BCDE = 4△HKI = 480
ABCDEF = 1200

第14題懂了，謝謝。
第20題樞紐定理仍然觀察不出來，可以再煩說明嗎?感謝。

OA1 = OA2 = OA3
角DOA1 > 角DOA2 > 角DOA3
由樞紐定理
DA1 > DA2 > DA3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-3-16 09:45 PM 編輯 ]

了解。真是非常感謝!!!