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請教兩題不等式

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請教兩題不等式

1. x,y,z不等於0的實數
證:1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2>=x+y+z/xyz

2. 三角形ABC的三邊長為a ,b ,c, 內切圓半徑為r , s為周長之半
證:1/(s-a)^2 +1/(s-b)^2 +1/(s-c)^2 >= 1/r^2

試了幾個方法都無法解出,請板上高手提示一下
謝謝

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1. 設 \(x,y,z\) 為不等於 \(0\) 的實數,證: \(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \geq \frac{x+y+z}{xyz}\)

觀察一下右式, \(\displaystyle \frac{x+y+z}{xyz} = \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \)

令 \(a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}\),則題目等同於要證明

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca\]

由柯西不等式可得

\[(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2) \geq (ab+bc+ca)^2\]

\[⇒(a^2 + b^2 + c^2) \geq |ab+bc+ca| \geq ab+bc+ca\]

或是由算幾不等式

\[\frac{a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2} = |ab| \geq ab\]

\[\frac{b^2+c^2}{2} \geq \sqrt{b^2c^2} = |bc| \geq bc\]

\[\frac{c^2+a^2}{2} \geq \sqrt{c^2a^2} = |ca| \geq ca\]

上三式相加,可得 \(a^2 + b^2 + c^2 \geq ab +bc +ca\).

或是利用配方法,

\[(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = \frac{1}{2}\left\{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right\}\geq0\]

\[⇒(a^2 + b^2 + c^2) \geq (ab+bc+ca).\]

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補個出處-高中數學競賽教程P180,中一中合作盃金頭腦第廿次有獎徵答
\( a=x+y\),\(b=y+z\),\(c=z+x\)
\(r=\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}\)
得到第一題的式子
利用科西不等式得證
\((\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})>=(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})^2 \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-2-25 07:23 PM 編輯 ]

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謝謝瑋岳與bugmen老師

另外要請教瑋岳老師一題
再您文章提到一題
(cos(x)+1)sin(x)中求最大值(你給答案3 sqrt(3)/4) 0<x<180度
我是利用半角公式得
2cos^2(x/2)*2sin(x/2)cos(x/2)=4cos^3(x/2)sin(x/2)
然後再用算幾不等式與三角疊合求 答案有出入

可否告知
謝謝

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解:
\[\left(\cos\left(x\right)+1\right)\cdot\sin\left(x\right)  = 2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) 
= 4\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\]
因為 \( 0<x<\pi \),所以 \(0<x<\frac{\pi}{2} \) ⇒  \( \sin\left(\frac{x}{2}\right)>0 且 \cos\left(\frac{x}{2}\right)>0 \).
由算幾不等式,可得
\[ \frac{\frac{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}{3} + \frac{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}{3} + \frac{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}{3} + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{4} \geq \sqrt[4]{\left(\frac{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}{3}\right)^3\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\]
\[⇒ \frac{1}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{1}{27}\cos^6\left(\frac{x}{2}\right)\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}\]
兩邊同時平方
\[⇒ \frac{1}{16}\geq\frac{1}{3\sqrt{3}}\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\]
\[⇒ \frac{3\sqrt{3}}{4}\geq 4\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\]
\[⇒ \frac{3\sqrt{3}}{4}\geq \left(\cos\left(x\right)+1\right)\cdot\sin\left(x\right)\]
所以,\(\left(\cos\left(x\right)+1\right)\cdot\sin\left(x\right)\) 之最大值為 \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\).

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謝謝瑋岳老師
這麼巧妙的解法

我是直接把cos^3(x/2)sin(x/2)<=((3cos(x/2)+sin(x/2))/4)^4
再用三角疊合3cos(x/2)+sin(x/2)=sqar(10)sin(x/2+theta)<=sqar(10)

我的答案變成25/16  
不知我哪一個環節觀念不對, 望不吝指教

謝謝瑋岳老師夜深裡還po文告知,感激不盡

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引用:
原帖由 arend 於 2009-2-26 12:58 AM 發表
我是直接把cos^3(x/2)sin(x/2)<=((3cos(x/2)+sin(x/2))/4)^4
再用三角疊合3cos(x/2)+sin(x/2)=sqar(10)sin(x/2+theta)<=sqar(10)
用了兩次不等式,兩者的等號不一定會同時成立,

第一個算幾不等式,等號成立條件時,是當 \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)\) 之時,

且由
\[ \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=1  與  0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2} ,\]

可解得
\[
\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
⇒ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}.
\]

而第二個由三角函數的疊合,所產生的不等式,當中等號的成立條件是當 \(\frac{x}{2}\) 滿足

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{3}{\sqrt{10}}  且  \sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{10}},\]

故,兩者不會同時成立,所以最大值,不是此值。

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謝謝瑋岳老師
我太大意,一時不察
當第一等式成立
等號成立條件時,是當 \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)\) 之時,

且由
\[ \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=1  與  0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2} ,\]

可解得
\[
\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
⇒ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}.
\]

直接帶入,最大值只為1<3*sqar(3)/4
謝謝不吝告知

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請問第2提怎麼解??

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回復 9# panda.xiong 的帖子

若偷用第一題的結論以及 \(rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

\(\displaystyle \frac{1}{(s-a)^2}+\frac{1}{(s-b)^2}+\frac{1}{(s-c)^2}\geq\frac{s}{(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{1}{r^2}\)

若沒有第一題的話,原命題

\(\displaystyle \Leftrightarrow \Big(\frac{r}{s-a}\Big)^2+\Big(\frac{r}{s-b}\Big)^2+\Big(\frac{r}{s-c}\Big)^2\geq 1\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}\geq 1\)

由以下柯西不等式以及 \(\tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}\geq 0\),可知上式成立

\(\displaystyle \Big(\tan^2\frac{A}{2}+\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}\Big)\Big(\tan^2\frac{B}{2}+\tan^2\frac{C}{2}+\tan^2\frac{A}{2}\Big)\geq\Big(\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}\Big)^2=1\)

最後的等號利用了 \(\displaystyle \frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1\) 這件事

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