利用多項式的微分與1的n次方根解題

偶爾逛 PTT 在數學版看到有人問一題如下：

　　令 =cos52+isin52，

　　求 12−+12−2+12−3+12−4 之值？

以下將我在 PTT 的解答轉錄如下：




解答：

令 f(x)=x5−1，則  f(x)=x−1x−x−2x−3x−4  　────＊




因為 1x−1+1x−+1x−2+1x−3+1x−4=f(x)f(x)

　　　（解釋一下上式，將左邊通分，會發現它與右邊的 f(x) 用 ＊ 帶入分子的微分與分母，是相同的。

　　　　用數學一點的方式描述的話就是：

　　　　若 f(x)=ni=1x−ai ，則 ni=11x−ai=f(x)f(x)  ）




所以，將 x=2 帶入可得 1+(所求)=f(2)f(2)

故，所求=f(2)f(2)−1=3149



註：或是要直接令 f(x)=x4+x3+x2+x+1，則所求 =f(2)f(2) 亦可。








來一題類題：（敝校某校內競賽曾考過的一題）

若方程式 2x4−16x3+44x2−48x+17=0 的四個實根分別為 abcd，試求方程式 1x−a+1x−b+1x−c+1x−d=0 的三個實根由小至大分別為？答案：123