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橢圓求焦點,求聯立方程式 x^2+y^2=4 且 x+y+z=0 的兩焦點

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橢圓求焦點,求聯立方程式 x^2+y^2=4 且 x+y+z=0 的兩焦點

題目:求聯立方程式 \(x^2+y^2=4\) 且 \(x+y+z=0\) 的兩焦點‧

解答:

設與圓柱 \(x^2+y^2=4\) 及平面 \(x+y+z=0\) 同時相切的內切球方程式為

\[ x^2+y^2+(z-t)^2 = 4 \]

由圓心到平面的距離=半徑,

可得
\[ \frac{\left|0+0+t\right|}{\sqrt{3}} = 2, \]

故 \(t = \pm 2 \sqrt{3}.\)

再利用點到面的投影點公式,

求出圓心 \( \left(0, 0, \pm 2 \sqrt{3}\right) \) 在 \(x+y+z=0\) 上的投影點即為兩焦點.



原討論串:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052

97年國立大里高中教甄題目(數學科):http://www.scribd.com/doc/3562840/97

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承上題的類似題,

題目:

  圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 和平面 \(2x+3y=5\) 交一雙曲線,求此雙曲線的焦點、貫軸頂點座標

  題目改自 jisam 問的 https://math.pro/db/thread-864-1-1.html 此題。

  感謝 bugmens 介紹此題目的原始出處 http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341

  ^__^

解答:


設在直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 的內部區域與其相切之圓的圓心為 \((0,0,t)\),

則畫圖,看出半徑為 \(r=\displaystyle\frac{|t|}{\sqrt{2}}\),

利用此圓與平面 \(2x+3y=5\) 相切(圓心到平面的距離=半徑),



\[
\frac{|2\times0+3\times0+0\times t-5|}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}}=\frac{t}{\sqrt{2}}
\]

\[\Rightarrow t=\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.
\]

故與直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 及平面 \(2x+3y=5\) 皆相切之圓的圓心為 \(\displaystyle (0,0,\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}})\),半徑為 \(\displaystyle r=\frac{5}{\sqrt{13}}\),

再利用點到面的投影點公式,

求出圓心在 \(2x+3y=5\)  上的投影點即為兩焦點 \(F_1, F_2\) 為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\right)\).




而要求貫軸頂點的話,(以下也是畫圖慢慢看出來的)

由 \(F_1, F_2\) 往上、下(向 \(z=0\) 平面靠近)分別移動 \(\displaystyle r\tan 22.5^\circ=\frac{5}{\sqrt{13}}\left(\sqrt{2}-1\right)\),

即可得貫軸的兩頂點為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5}{\sqrt{13}}\right)\).



參考資料: Dandelin Spheres ─ http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html

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回復 2# weiye 的帖子

請問tan22.5度是怎麼看出來的?

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回復 3# casanova 的帖子

因為我不太會畫立體圖,

所以畫了如附加檔案的剖面側視圖,

圖中 \(\overline{QF_1}=r\),可得 \(\overline{A_1F_1}=r\tan22.5^\circ\)

\(A_1\) 點即為其中一個貫軸上的頂點。

(如果您看得懂圖,應該就會知道另一個頂點在哪裡~^__^)

附件

qq.png (41.37 KB)

2012-1-24 18:42

qq.png

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回復 4# weiye 的帖子

謝謝你喔!
雖然沒有立體圖形,但這剖面側視圖也很清楚。
另一個貫軸的頂點是,以平面z=0為對稱平面,A1的對稱點對吧?!

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回復 5# casanova 的帖子

是滴,沒錯! ^__^

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我在舊版的101看到類似題,我仿照了做法得到的結果(如附件一)和101的解答不同(如附件二)

我有兩個問題

首先,到底哪個答案是對的?或者,我錯在哪邊?

第二,101解答的部分,算式(1)應該是屬於空間中的方程式,它所代表的幾何意義是什麼?
真的可以這樣做嗎?

謝謝各位!

附件

圓錐解一.JPG (42.31 KB)

2013-1-14 11:49

圓錐解一.JPG

圓錐解二.JPG (11.5 KB)

2013-1-14 11:49

圓錐解二.JPG

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回復 7# best2218 的帖子

題目所求是不一樣的

附件一解的是圓錐上的雙曲線

而附件二解是該曲線對 xy 平面的投影

下次看清楚題目吧 失言了,抱歉,是我沒仔細看清楚附件一

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-1-14 09:12 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 7# best2218 的帖子

你的問題在於:
投影之後,焦點會改變。
舉個比較極端的例子:
如果是圓柱,那麼可以被平面截出一個橢圓,但是這個橢圓在與圓柱的軸垂直的平面上的投影是圓,
可以看成焦點都跑到中心去了。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 9# 老王 的帖子

謝謝老王老師

我想再請問一下,在附件二的 (1)
在空間的坐標系統中,可不可以看成 雙曲線「柱」?

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