松山高中104第二學期自然組第二次段考題

I.
設空間中有一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}\)與兩點\(P(5,4,2)\)、\(Q(a,b,c)\)，\(b>0\)，若\(P\)在\(L\)上的投影點與\(Q\)在\(L\)上的投影點皆為點\(R\)，且\(\overline{PR}=\overline{QR}\)、∠\(PRQ=120^{\circ}\)，求\(Q\)點坐標\((a,b,c)=\)？
試問解法？感謝各位大大

http://203.72.64.251/fileup2008/104/1040202/1040202.asp

易知\(R\left( 4,2,4 \right),\overline{PR}=\overline{QR}=3,\overline{PQ}=3\sqrt{3}\)

向量\(RQ=\left( a-4,b-2,c-4 \right)\)

解以下聯立方程，可得答案
\(\left\{ \begin{align}
  & 2\left( a-4 \right)+\left( b-2 \right)+2\left( c-4 \right)=0 \\
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-4 \right)}^{2}}={{3}^{2}} \\
& {{\left( a-5 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-6 21:05 編輯 ]

請問一下沒有比較簡潔的算法嗎？

第 (1) 式為 2a + b + 2c = 18
第 (2) 式 - 第 (3) 式，可得 2a + 4b - 4c = -9
用上兩式把 a 和 c 用 b 表示，代入第 (2) 式可求出 b

還要更快的話，就要等高手囉！