矩陣 01

\(n\in N\)，\(\left[\matrix{3&0 \cr 2&1}\right]^n=\left[\matrix{a_n&b_n \cr c_n&d_n} \right]\)，下列敘述何者正確？
(a)\(a_3=9\)
(b)\(a_2+a_3=a_4\)
(c)\(a_4+b_4=c_4+d_4\)
(d)\(c_n+d_n=3\)
請問要如何解？謝謝！

令\(I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)，\(A=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，則\(A^2=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A\Rightarrow A^n=A\ (n\in\mathbb{N})\)，
且\(\begin{bmatrix}3&0\\2&1\end{bmatrix}^n=(I+2A)^n=C_0^n I^n+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C_k^n(2A)^k=I+\sum_{k=1}^{n}C_k^n 2^{n-k}A=I+(3^n-1)A=\begin{bmatrix}3^n&0\\3^n-1&1\end{bmatrix}\)

谢谢

上面已有一般化的好方法了，
但這題其實直接乘一乘就好了！！

\( A=\begin{bmatrix}3 & 0\\
2 & 1
\end{bmatrix} \)

\( A^{2}=\begin{bmatrix}3 & 0\\
2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 0\\
2 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9 & 0\\
8 & 1
\end{bmatrix} \)

\( A^{3}=\begin{bmatrix}9 & 0\\
8 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 0\\
2 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}27 & 0\\
26 & 1
\end{bmatrix} \)

\( A^{4}=\begin{bmatrix}27 & 0\\
26 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 0\\
2 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}81 & 0\\
80 & 1
\end{bmatrix} \)

易知(或由數學歸納法證明之) \( \begin{bmatrix}3^{n} & 0\\
3^{n}-1 & 1
\end{bmatrix} \)