矩陣題型

已知\(A,B,I,O\)皆為三階方陣且\(I\)為單位方陣，\(O\)為零方陣，若\(A+B=I\)且\(AB=O\)，則\(\displaystyle det[\sum_{n=1}^{10}(A^{n}+B^{n})]\)之值為　　　。

因為 \(A+B=I\)，所以 \(AB=A\left(I-A\right)=A-A^2=\left(I-A\right)A=BA\Rightarrow  \left(A+B\right)^n =C^n_0 A^n + C^n_1 A^{n-1}B+\cdots+C^n_n B^n\)

又因為 \(AB=O\)，所以 \(A^n+B^n=C^n_0 A^n + C^n_1 A^{n-1}B+\cdots+C^n_n B^n = \left(A+B\right)^n=I^n=I\)

所求\(=\det\left(10I\right)=1000.\)