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圓的題目,求一直線等分五圓的面積和.

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圓的題目,求一直線等分五圓的面積和.

引用:
現有5個半徑為1的圓,其圓心分別為(-1,1),(-1,3),(1,1),(1,3),(3,1). 試找一直線方程式將這5個圓的面積平分為兩等分?
解答:



如圖:


看來~至少五條直線滿足條件,


以下證明有無限多條直線恰可以將此五圓面積和分割成相等的兩塊:

設 m 為實數,

以斜率為 m 的直線系(y=mx+k,經平行移動之後)裡面的直線 y=mx+k,

在直線上方面積扣掉下方的面積稱為函數 F(k),

由於存在 k=a 使得 五個圓都在直線下方,即 F(a) = 5 > 0,

且存在 k 使得 五個圓都在直線上方,即 F(b) = - 5 < 0,

由堪根定理可知存在 k = c 介在 (a,b) 之間 ,使得 F(c)=0,

也就是對於任意斜率 m ,都可以找到直線 y= mx+c 恰將此五圓面積分割為相等的兩部份。






原討論串:h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49158 連結已失效

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補充資料
一個圖形由大小相等的五個圓\( O_1 \)、\( O_2 \)、\( O_3 \)、\( O_4 \)和\( O_5 \)構成,其中\( O_1 \)、\( O_2 \)、\( O_3 \)都與直線l相切,並且\( O_1 \)與\( O_2 \),\( O_2 \)與\( O_3 \),\( O_3 \)與\( O_4 \),\( O_4 \)與\( O_5 \),\( O_5 \)與\( O_2 \)分別外切,請畫一條直線,使得這條直線把圖形的面積二等分。
(生活中的中學數學P166)

附件

生活中的中學數學P166.gif (129.47 KB)

2012-2-1 20:01

生活中的中學數學P166.gif

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