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複數01

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複數01

設\(\displaystyle \omega=cos \frac{2\pi}{101}+i sin\frac{2\pi}{101}\),求\((\omega-1)(\omega^2-1)\ldots (\omega^{100}-1)\)的值。
ans:101
請問要如何解出?謝謝!

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回復 1# shmilyho 的帖子

\({{x}^{101}}=1\)的101個根為\(1,\omega ,{{\omega }^{2}},{{\omega }^{3}},\cdots ,{{\omega }^{100}}\)
\(\begin{align}
  & {{x}^{101}}-1=(x-1)(x-\omega )(x-{{\omega }^{2}})\cdots (x-{{\omega }^{100}}) \\
& {{x}^{100}}+{{x}^{99}}+\cdots +x+1=(x-\omega )(x-{{\omega }^{2}})\cdots (x-{{\omega }^{100}}) \\
& 101=(1-\omega )(1-{{\omega }^{2}})\cdots (1-{{\omega }^{100}})=(\omega -1)({{\omega }^{2}}-1)\cdots ({{\omega }^{100}}-1) \\
\end{align}\)

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