請教一題向量

\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\),\(\overline{AC}=5\),\(\overline{BC}=8\)，\(G\)為重心，\(I\)是內心，\(O\)是外心，若\( \vec{BO}=x \vec{BG}+y \vec{BI} \)求數對\((x,y)\)？
答案：\( \displaystyle (\frac{15}{2},-\frac{13}{2}) \)

座標化

令 \(M\) 為 \(\overline{BC}\) 的中點，

因為圖形為等腰三角形，易知 \(G,I,O\) 都在 \(AM\) 直線上，且 \(\displaystyle\overline{AG}=\frac{2}{3}\overline{AM}, \overline{AI}=\frac{5}{9}\overline{AM}, \overline{AO}=\frac{25}{18}\overline{AM}\)，

得 \(I-G-O\) 之間的距離比為 \(\overline{IG}:\overline{GO}=2:13\)，剩下用分點公式就可以了。

註：如果圖形數據改一下，給的不是等腰三角形，可以利用 \(I,G,O\) 各別化成 \(\vec{BA}\) 與 \(\vec{BC}\) 的線性組合，再連結起來，就可得 \(x,y\)。

謝謝weiye老師與eyeready老師的解說,我明白了!