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三角形的旁心與面積比

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三角形的旁心與面積比

再請教一題

三角形ABC中,三邊長分別為2、3、4,三個旁心為a、b、c,則
三角形abc和三角形ABC的面積比為何?

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沒搞錯吧!數字超醜的!
在沒有步之前,禁用解析幾何
我一開始是想用共圓和相似解題
但後來卡住了~~

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引用:
原帖由 tsyr 於 2014-6-29 06:09 PM 發表
沒搞錯吧!數字超醜的!
在沒有步之前,禁用解析幾何
我一開始是想用共圓和相似解題
但後來卡住了~~
參考下列公式~應有幫助
http://baike.baidu.com/view/1862639.htm#1_8
http://zhidao.baidu.com/question ... l=relate_question_3

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-29 06:16 PM 編輯 ]

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謝謝,我懂了,所以答案是32/5

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回復 5# tsyr 的帖子

也可參考這篇丁老師的作品
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d294/29410.pdf

裡面有提到橢圓兄所列的參考公式,順帶整理一下本題:
設三角形三邊為\(a,b,c\), \(s=\frac{a+b+c}{2}\), 面積為\(A\), 對應的旁切圓半徑為\({{r}_{a}},{{r}_{b}},{{r}_{c}}\), 則
(1) \(A=\left( s-a \right){{r}_{a}}=\left( s-b \right){{r}_{b}}=\left( s-c \right){{r}_{c}}\)
(2) \(ab+bc+ca={{s}^{2}}+4Rr+{{r}^{2}}\)
(3) \(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}=\frac{4R+r}{rs}\)
(4) 旁心三角形的面積\({{A}_{p}}=2Rs\), 故旁心三角形與原三角形的面積比值為\(\frac{2R}{r}\).
   < Pf > (1) 請參閱文章(有圖比較清楚)
              (2) 由海龍公式可推得\(\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)={{r}^{2}}s\), 故
                   \({{s}^{3}}-\left( a+b+c \right){{s}^{2}}+\left( ab+bc+ca \right)s-abc={{r}^{2}}s\), 結合\(abc=4Rrs\), 整理得到
                   \(ab+bc+ca={{s}^{2}}+4Rr+{{r}^{2}}\).
              (3) \(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}=\frac{ab+bc+ca-{{s}^{2}}}{\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}=\frac{4Rr+{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}s}=\frac{4R+r}{rs}\)
              (4) \({{A}_{p}}=\frac{1}{2}\left( a{{r}_{a}}+b{{r}_{b}}+c{{r}_{c}} \right)+rs=\frac{1}{2}\left( a\cdot \frac{rs}{s-a}+b\cdot \frac{rs}{s-b}+c\cdot \frac{rs}{s-c} \right)+rs\)
                   \(=\frac{1}{2}rs\left( \frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c} \right)+rs=\frac{1}{2}rs\left( \frac{s}{s-a}+\frac{s}{s-b}+\frac{s}{s-c}-3 \right)+rs\)
                   \(=\frac{1}{2}rs\left( s\cdot \left( \frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c} \right)-3 \right)+rs=\frac{1}{2}rs\left( s\cdot \frac{4R+r}{rs}-3 \right)+rs=2Rs\), 證畢。
   
故旁心三角形,原三角形與內接圓三切點所形成的三角形面積會成一等比數列

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-29 08:27 PM 編輯 ]

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補個完整解法好了
謝謝大家的幫忙

附件

1.png (73.53 KB)

2014-6-29 21:17

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回復 7# tsyr 的帖子

我覺得原數據2,3,4
在算填充或選擇可以改成4,6,8
這樣p會比較好看(好算)
反正是算比值,所以放大沒影響~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-29 09:33 PM 編輯 ]

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回復 6# hua0127 的帖子

hua0127兄所推薦的文章裡面有提到:
匡繼昌教授編著的「常用不等式」
這本小弟也有買簡體版(人民幣:89)
是鋼琴兄說這有好多奇奇怪怪不等式
於是好奇去買來看
整本有八百多頁, 共六千多個不等式
小弟很少翻,因為都看不懂...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-29 09:47 PM 編輯 ]

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不等式是我最頭痛的一部份
若幾何再結合不等式,那我幾乎都不會寫
可以請問一下,要如何加強不等式的解題能力?

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