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三角測量

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在山頂測得地面某物之俯角為45°,沿山坡下行3/4 的坡長,再測得該物的俯角為15° ,若山坡的斜角為α,求tanα= ?

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回復 1# cally0119 的帖子



如圖,令 \(\overline{CE}=3a, \overline{ED}=a, \overline{AE}=b, \angle CDB=\alpha\Rightarrow\angle ACD=\alpha-45^\circ\)

在 \(\triangle AEC\) 中,由正弦定理,可得 \(\displaystyle \frac{3a}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin\left(\alpha-45^\circ\right)}\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{3\sin\left(\alpha-45^\circ\right)}{\sin30^\circ}\)

在 \(\triangle AED\) 中,由正弦定理,可得 \(\displaystyle \frac{a}{\sin15^\circ}=\frac{b}{\sin\left(180^\circ-\alpha\right)}\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin\alpha}{\sin15^\circ}\)

因此,\(\displaystyle \frac{3\sin\left(\alpha-45^\circ\right)}{\sin30^\circ}=\frac{\sin\alpha}{\sin15^\circ}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 6\sin\left(\alpha-45^\circ\right)=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\cdot\sin\alpha\)

\(\displaystyle \Rightarrow 3\sqrt{2}\sin\alpha-3\sqrt{2}\cos\alpha=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\cdot\sin\alpha\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=6+3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \tan\alpha=6+3\sqrt{3}\)

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引用:
原帖由 cally0119 於 2013-8-21 09:51 AM 發表
在山頂測得地面某物之俯角為45°,沿山坡下行3/4 的坡長,再測得該物的俯角為15° ,若山坡的斜角為α,求tanα= ?
我算出來是3*(2+sqrt(3))
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po出來時才發現瑋岳老師已詳細寫出來

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