平面向量，分點公式的基本題

題目：

\(\triangle ABC\)，在 \(\overline{AB}\) 上有一點 \(D\)，在 \(\overline{AC}\) 線上有一點\(E\)，

已知 \(\overline{BE}\) 與 \(\overline{CD}\) 相交於點 \(P\)，且 \(\triangle DPB\) 面積為 \(5\)，\(\triangle PEC\) 面積為 \(8\)，\(\triangle BPC\) 面積為 \(10\)，

若 \(\overrightarrow{AP} = m\,\overrightarrow{AB} + n\,\overrightarrow{AC}\)，求 \(m,n\) 之值。

解答：

因為 \(DP: PC = 5:10 = 1:2\) 且 \(BP: PE=10:8=5:4\)

所以，用分點公式可得 \(\displaystyle \overrightarrow{AP} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\) 且 \(\displaystyle \overrightarrow{AP} = \frac{4}{9} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{9} \overrightarrow{AE}\)

因為 \(\overrightarrow{AD} // \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}//\overrightarrow{AE}\)，且 \(\overrightarrow{AB}\) 不平行 \(\overrightarrow{AC}\)

所以 \(\displaystyle \overrightarrow{AP} = \frac{4}{9} \overrightarrow{AB}+ \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}.\)



（更甚者，還可以得到  \(\overrightarrow{AB}\) 與  \(\overrightarrow{AD}\) 到底是伸縮幾倍會相等，

　　　　　　　　　且  \(\overrightarrow{AC}\) 與  \(\overrightarrow{AE}\) 到底是伸縮幾倍會相等。

即 \(\overrightarrow{AD} // \overrightarrow{AB}\) 且 \(\overrightarrow{AC}//\overrightarrow{AE}\)，

\(\displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AD} = \frac{4}{9} \overrightarrow{AB}\)，\(\displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} = \frac{5}{9} \overrightarrow{AE}.\)）