k cos^2(x)－k cosx＋1≧0恆成立，求 k 範圍.

題目：

\(k \cos^2 x - k \cos x+1\ge 0\) 恆成立，求 \(k\) 範圍.

解答：

令 \(t=\cos x\)，則

題意為： \(y=k t^2 - k t +1\) 在 \(-1\le t\le 1\) 時，\(y\) 恆非負，求 \(k\) 的範圍.


case 1. 若 \(k=0\)，則 \(y=k\cdot 0^2 - k\cdot 0+1\ge 0\) 恆成立.


case 2. 若 \(k>0\)，則開口向上拋物線 \(y=k t^2 - k t +1\) 在滿足 \(-1\le t\le 1\) 的部分，當 \(\displaystyle t=\frac{1}{2}\) 時，有最低點，

　　　　此最低點的 \(y\) 坐標 \(\displaystyle k{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - k\left( {\frac{1}{2}} \right) + 1 \ge 0\;\Rightarrow k\le 4.\)


case 3. 若 \(k<0\)，則開口向上拋物線 \(y=k t^2 - k t +1\) 在滿足 \(-1\le t\le 1\) 的部分，當 \(t=-1\) 時，有最低點，

　　　　此最低點的 \(y\) 坐標 \(\displaystyle k{\left(-1\right)^2} - k\left(-1 \right) + 1 \ge 0\;\Rightarrow k\ge -\frac{1}{2}.\)


由上列三種情況，可得 \(k\) 的範圍為 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\le k\le 4.\)