請教一題三角函數

syui912

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1^# 大中小發表於 2012-7-18 15:45 只看該作者

請教一題三角函數

滿足\(cos2\theta+cos^4\theta+cos6\theta=3\)，且\(0^{\circ}\le \theta \le 360^{\circ}\)的範圍內之角\(\theta\)有　　　個。
麻煩一下
謝謝

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Ellipse

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2^# 大中小發表於 2012-7-18 17:11 只看該作者

引用:

原帖由 syui912 於 2012-7-18 03:45 PM 發表
請參閱附件
麻煩一下
謝謝

法1:
令x=cosa,利用和差化積及2倍角公式
得32x^6-47x^4+20x^2-5=0
因式分解得(x-1)(x+1)(32x^4-15x^2+5)=0
解得x=1或-1或32x^4-15x^2+5=0(後面的x解沒有在-1~1之間)
所以cosa=1,-1
得a=0度,180度,360度

法2: (看到下面解法就不會想用上面方式)
因為cos(2a)<=1 , (cosa)^4<=1 ,cos(6a)<=1
又cos(2a)+(cosa)^4+cos(6a)=3
因此cos(2a)=1 ,(cosa)^4=1 ,cos(6a)=1
可解得a=0度,180度,360度

註:題目要有設計過才能用法2,否則只能乖乖用法1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-7-18 05:12 PM 編輯 ]

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syui912

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3^# 大中小發表於 2012-7-23 10:21 只看該作者

回復 2# Ellipse 的帖子

謝謝您唷
如果令x=cos2a,利用半角及3倍角公式
因式分解得(x-1)(x+1)(x^2+17x+11)=0
解得x=1或-0.9多(後面的x解在-1~1之間)
所以cos2a=1,-0.9多
得a=0度,180度,360度還會有其他解
不知有沒有哪裏想錯了
有空可以看一下嗎
謝謝

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Ellipse

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4^# 大中小發表於 2012-7-23 19:15 只看該作者

引用:

原帖由 syui912 於 2012-7-23 10:21 AM 發表
謝謝您唷
如果令x=cos2a,利用半角及3倍角公式
因式分解得(x-1)(x+1)(x^2+17x+11)=0
解得x=1或-0.9多(後面的x解在-1~1之間)
所以cos2a=1,-0.9多
得a=0度,180度,360度還會有其他解
不知有沒有哪裏想錯了
有空可以看一 ...

您要不要把您的過程po出來呢?
看問題出在哪?

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syui912

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5^# 大中小發表於 2012-7-24 10:04 只看該作者

回復 4# Ellipse 的帖子

先謝謝您唷
想法如下
利用半角及3倍角公式
cos2a+[(1+cos2a)/2]^2+4*(cos2a)^3-3*cos2a=3
如果令x=cos2a
x+(1+2x+x^2)/4+4x^3-3x=3
4x+(1+2x+x^2)+16x^3-12x=12
16x^3+x^2-6x-11=0
因式分解得(x-1)(16x^2+17x+11)=0
解得x=1
所以cos2a=1
得a=0度,180度,360度

請 Ellipse大師幫忙解惑了
謝謝喔

[ 本帖最後由 syui912 於 2012-7-24 03:22 PM 編輯 ]