求距離的問題

題目是這樣的

給一個圓方程式\(\Gamma\)：\(x^2+(y-1)^2=1\)，兩定點\(A(3,0)\)、\(B(5,0)\)

設圓上一動點\(P\)，求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值

我用圓的參數式做不出來

後來想到一個想法是

\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值是 當\(\Gamma\)與以\(A\)、\(B\)為焦點的橢圓交於一點時

此時有最小的長軸長(即\(2a\))

可是卻無從下手，拜托大家幫忙解一下

這個問題我最先在這篇看到,那時我花了很多時間在圖書館找資料
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43158　連結已失效
在"幾何學辭典"P607有提到這個問題,當∠OPA=∠OPB時PA+PB就有最小值
只是沒提到這個P點要怎麼作出來

直到昨天又看到相同的問題,我改用英文關鍵字(Alhazen's problem)來搜尋
http://en.wikipedia.org/wiki/Alhazen#Alhazen.27s_problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Book_of_Optics#Alhazen.27s_problem
也找到用複數解法來找P點
Another view of alhazen's optical problem.pdf從第5頁開始
Trisections and Totally Real Origami.pdf從第13頁開始
我以第一個pdf檔所描述的公式,搭配本題的條件來找P點的位置
公式是將圓放在原點上,故將A,B移到(3,-1)，(5,-1)
以複數來看A(3-i)，B(5-i)，AB=14-8i，A+B=8-2i
雙曲線\( p(x^2-y^2)-2qxy=sx-ry \)的各項係數
p=Im(ab)=-8，q=Re(ab)=14，r=Re(a+b)=8，s=Im(a+b)=-2
得到\( 4x^2+14xy-4y^2-x-4y=0 \)再和圓方程式\( x^2+y^2=1 \)解出P點

感謝 bugmens的解答，解決我的困惑
讓我再一次感受數學的奧妙

不過，這題目我是在高中模擬考看到的
對於高中生來說，不曉得有沒有更好的解法
不然這題出在高中，應該很多學生無法接受這種解法

假如題目條件沒錯的話,應該沒有簡單的方法,難度要適合高中生那當初在設計題目時至少推得的雙曲線不能太複雜,這樣的話或許能從圓的切線和橢圓切線為同一條線來著手,但像這題\( 4x^2+14xy-4y^2-x-4y=0 \)複雜到無法和\( x^2+y^2=1 \)解方程式

或者你到賴老師工作室http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/main.htm
左邊點選"各類試題"，再點選"學測模擬試題"或"指考模擬試題"，看看是哪一年的題目,找看看後面的答案是什麼

或許你看一下
h ttp://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=163494&tstart=129420　連結已失效