國內IMO培訓題目

為了解決小弟的同學們的問題
特別在此開個特區
方便討論與上傳資料

103.8.2將題目重新打字
問題一：已知三角形的三邊長為a,b,c且滿足ab+bc+ca=3。試證

解：為了證第一個不等式，考慮
,
由已知條件ab+bc+ca=3，可得(a+b+c)29，即a+b+c3。　　　　　　　(1)
另外，因為a,b,c為三角形的三邊長，可得

再由已知條件ab+bc+ca=3，可得6(a+b+c)2−6，即a+b+c23 　　　　(2)
結合(1)與(2)，得證。




[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-2 10:40 AM 編輯 ]

請享用~~

103.8.2將題目重新打字
問題二：2007張卡片，每一張都標上某個介於1到2007之間(含)的自然數。若任取某些張卡片，其標示的數字和都不會是2008的倍數，證明這2007張卡片所標示的數字都一樣。
解：令ak表示第k張卡片所標示的數字，且令

因任取某些張卡片，其標示的數字和都不會是2008的倍數，所以當我們以2008除Sn時可得不同的餘數且這些餘數必是122007的某種秩序。因此，存在i;122007;使得

如果i1則產生矛盾。(因si−a2是2008的倍數)
故a2s1=a1，可得a2a1(mod2008)，即a2=a1，由ak的循環性，我們可得所有的ai皆相同。





[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-2 11:13 AM 編輯 ]

2014年第55屆國際數學奧林匹亞競賽
我國排名第三 獲四金二銅
金牌獎 - 吳博生(建中二年級)、趙庭偉(建中三年級)、陳誼廷(Irvington High School三年級)、余竑勳(天母國中三年級)
銅牌獎 - 陳柏叡(雄中二年級)、吳邦誠(雄中二年級)
我國代表隊總成績 192 分，在 101 個參賽國中名列第3，為我國自 1992 年參賽以來所獲得之最佳成績。其中吳博生同學與兩位他國選手並列世界第一 (共 560 位選手參賽)。

台灣真厲害阿~~~

今年imo題目也不簡單呢
歡迎有興趣的來玩玩看!


103.8.2將題目重新打字
問題1.　設a0a1a2是無窮正整數數列。證明：存在唯一的整數n1，滿足


問題2.　設n2為整數。考慮一個由n2個單位方格所組成的nn棋盤。將n只城堡擺在棋盤的方格中，使得每一列及每一行都恰有一只城堡，如此稱為和平擺法。試找出最大的正整數k，使得對每一種n只城堡的和平擺法，都能找到kk的正方形，它的k2個單位方格中都沒有城堡。

問題3.　在凸四邊形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90。設H點是由A點向BD引垂線的垂足。令S,T兩點分別為於AB邊與AD邊上，滿足：H落在三角形SCT內部，且

證明：直線BD是三角形TSH外接圓的切線。

問題4.　設P,Q兩點落在銳角三角形ABC的BC邊上，滿足∠PAB=∠BCA及∠CAQ=∠ABC。而M,N兩點分別落在直線AP與AQ上，使得P為AM的中點、Q為AN的中點。
證明：直線BM與CN的交點落在三角形ABC的外接圓上。

問題5.　對每個正整數n，開普敦銀行都發行幣值為n1的硬幣。今給定有限多個這樣的硬幣(其幣值不一定不同)，其總值最多為99+21。證明：可以將這些硬幣分成100堆或更少堆，使得每一堆硬幣的總值最多為1。

問題6.　平面上的一組直線，若其中任兩條不平行、任三條不共點，則稱這組直線位於一般位置。位於一般位置的直線組，將平面分割成若干區域，其中有些區域的面積是有限的；這些區域稱為此直線組的有限區域。證明：對任意足夠大的n，皆可以在為於一般位置的n條直線組裡，選取至少n 條直線著上藍色，使得此直線組沒有任何有限區域的邊界完全是藍色。
註：證出的結果中，如果n 換成了cn ，會依常數c之值給予分數。

是嗎?原來有這件事
真是抱歉，看來我要好好學一下打字了
不然還會勞煩到各位!

萬分感謝bugmens幫忙打字