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三角形的旁心與面積比

tsyr

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1^# 大中小發表於 2014-6-29 16:37 只看該作者

三角形的旁心與面積比

再請教一題

三角形ABC中，三邊長分別為2、3、4，三個旁心為a、b、c，則
三角形abc和三角形ABC的面積比為何?

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bch0722b

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2^# 大中小發表於 2014-6-29 17:56 只看該作者

座標?

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tsyr

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3^# 大中小發表於 2014-6-29 18:09 只看該作者

沒搞錯吧!數字超醜的!
在沒有步之前，禁用解析幾何
我一開始是想用共圓和相似解題
但後來卡住了~~

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Ellipse

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4^# 大中小發表於 2014-6-29 18:14 只看該作者

引用:

原帖由 tsyr 於 2014-6-29 06:09 PM 發表
沒搞錯吧!數字超醜的!
在沒有步之前，禁用解析幾何
我一開始是想用共圓和相似解題
但後來卡住了~~

參考下列公式~應有幫助
http://baike.baidu.com/view/1862639.htm#1_8
http://zhidao.baidu.com/question ... l=relate_question_3

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tsyr

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5^# 大中小發表於 2014-6-29 18:25 只看該作者

謝謝，我懂了，所以答案是32/5

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hua0127

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6^# 大中小發表於 2014-6-29 20:25 只看該作者

回復 5# tsyr 的帖子

也可參考這篇丁老師的作品
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d294/29410.pdf

裡面有提到橢圓兄所列的參考公式，順帶整理一下本題：
設三角形三邊為a

c, s=2a+b+c, 面積為A, 對應的旁切圓半徑為ra

rc, 則
(1) A=

s−a

ra=

s−b

rb=

s−c

rc
(2) ab+bc+ca=s2+4Rr+r2
(3) 1s−a+1s−b+1s−c=rs4R+r
(4) 旁心三角形的面積Ap=2Rs, 故旁心三角形與原三角形的面積比值為r2R.
< Pf > (1) 請參閱文章(有圖比較清楚)
(2) 由海龍公式可推得

s−a

s−b

s−c

=r2s , 故
s3−

a+b+c

s2+

ab+bc+ca

s−abc=r2s , 結合abc=4Rrs, 整理得到
ab+bc+ca=s2+4Rr+r2.
(3) 1s−a+1s−b+1s−c=ab+bc+ca−s2

s−a

s−b

s−c

=r2s4Rr+r2=rs4R+r
(4) Ap=21

ara+brb+crc

+rs=21

rss−a+b

rss−b+c

rss−c

+rs
=21rs

as−a+bs−b+cs−c

+rs=21rs

ss−a+ss−b+ss−c−3

+rs
=21rs

1s−a+1s−b+1s−c

−3

+rs=21rs

rs4R+r−3

+rs=2Rs , 證畢。

故旁心三角形，原三角形與內接圓三切點所形成的三角形面積會成一等比數列

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tsyr

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7^# 大中小發表於 2014-6-29 21:17 只看該作者

補個完整解法好了
謝謝大家的幫忙

附件

1.png (73.53 KB)

2014-6-29 21:17

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Ellipse

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8^# 大中小發表於 2014-6-29 21:28 只看該作者

回復 7# tsyr 的帖子

我覺得原數據2,3,4
在算填充或選擇可以改成4,6,8
這樣p會比較好看(好算)
反正是算比值,所以放大沒影響~

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Ellipse

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9^# 大中小發表於 2014-6-29 21:37 只看該作者

回復 6# hua0127 的帖子

hua0127兄所推薦的文章裡面有提到:
匡繼昌教授編著的「常用不等式」
這本小弟也有買簡體版(人民幣:89)
是鋼琴兄說這有好多奇奇怪怪不等式
於是好奇去買來看
整本有八百多頁, 共六千多個不等式
小弟很少翻,因為都看不懂...

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tsyr

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10^# 大中小發表於 2014-6-29 21:44 只看該作者

不等式是我最頭痛的一部份
若幾何再結合不等式，那我幾乎都不會寫
可以請問一下，要如何加強不等式的解題能力?

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